geometrische Anschauung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 So 03.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Entwickeln Sie für Gleichungssysteme in drei Unbestimmten mit ein, zwei, oder
drei Gleichungen eine geometrische Anschauung. Fertigen
Sie Skizzen für die Lösungsmengen der Gleichungssysteme an, die aus
einer, zwei oder allen drei der folgenden Gleichungen
x + 2 · y − z = 0
6 · x − 3 · y − z = 0
2 · x + y − z = 6
bestehen, an. |
Was ist eine geometrische Anschauung?
Ich habe jetzt erstmal probiert, das LGS zu lösen, ich habe die Koeffizientenmatrix gebildet und eine Rangbetrachtung gemacht.
Rang(A) = 3 = Rang (A|b) -> LGS lösbar und wegen
Rang(A) = 3 = m (Anzahl der Spalten von A) gibt es genau eine Lösung.
Jedoch komme ich von der Zeilenstufenform irgendwie nicht in die normierte Zeilenstufenform. Da ich die Lösungsmengen skizzieren soll, muss ich ja dahinkommen, um die Lösungen abzulesen.
Also meine Matrix in der Zeilenstufenform sieht so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & |0 \\ 0 & -15 & -7 & |0 \\ 0 & 0 & -8/5 & |6 }
[/mm]
Freue mich über Hilfe.
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> Entwickeln Sie für Gleichungssysteme in drei Unbestimmten
> mit ein, zwei, oder
> drei Gleichungen eine geometrische Anschauung. Fertigen
> Sie Skizzen für die Lösungsmengen der Gleichungssysteme
> an, die aus
> einer, zwei oder allen drei der folgenden Gleichungen
>
> x + 2 · y − z = 0
> 6 · x − 3 · y − z = 0
> 2 · x + y − z = 6
>
> bestehen, an.
> Was ist eine geometrische Anschauung?
Hallo,
Du weißt sicher (=hoffentlich) daß jede lineare Gleichung mit drei Variablen eine Ebene beschreibt.
ZB. ist x+2y-z=0 die Gleichung einer Ebene: alle [mm] \vektor{x\\y\\z}, [/mm] die diese Gleichung lösen, liegen in der durch die Gleichung beschriebenen Ebene.
Tja, wenn das LGS nun aus zwei Ebenengleichungen besteht, kann man sich das geometrisch so vorstellen, daß man zwei Ebenen zum Schnitt bringt. Nun kann man sich überlegen, wie die Lösungsmenge eines solchen Systems (=der Schnitt zweier Ebenen) aussehen kann.
Für drei Gleichungen entsprechend.
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> Ich habe jetzt erstmal probiert, das LGS zu lösen, ich
> habe die Koeffizientenmatrix gebildet und eine
> Rangbetrachtung gemacht.
>
> Rang(A) = 3 = Rang (A|b) -> LGS lösbar und
> Rang(A) = 3 = m (Anzahl der Spalten von A) gibt es genau
> eine Lösung.
>
> Jedoch komme ich von der Zeilenstufenform irgendwie nicht
> in die normierte Zeilenstufenform. Da ich die
> Lösungsmengen skizzieren soll, muss ich ja dahinkommen, um
> die Lösungen abzulesen.
>
> Also meine Matrix in der Zeilenstufenform sieht so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 & |0 \\ 0 & -15 & -7 & |0 \\ 0 & 0 & -8/5 & |6 }[/mm]
Das hab ich jetzt nicht geprüft.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & |0 \\ 0 & -15 & -7 & |0 \\ 0 & 0 & -8/5 & |6 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & |0 \\ 0 & -15 & -7 & |0 \\ 0 & 0 & 1 & |-15/4} [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & |0 \\ 0 & -15 & 0 & |-75/4\\ 0 & 0 & 1 & |-15/4} [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & |-15/4 \\ 0 & -15 & 0 & |-75/4\\ 0 & 0 & 1 & |-15/4} [/mm] -->...
Den Rest bekommst Du nun bestimmt hin.
LG Angela
>
>
> Freue mich über Hilfe.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 03.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Hallo Angela,
ich habe einen Fehler gehabt beim Umformen.
Also ich habe jetzt folgende Matrix in Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & |0 \\ 0 & -15 & 5 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & |6 }
[/mm]
Das heißt ja: Rang (A) = 2 [mm] \not= [/mm] Rang (A|b) = 3 und dementsprechend ist [mm] \IL [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Also muss ich quasi auch für nur 2 Gleichungen schauen, ob das LGS aufgeht oder ist das mit der leeren Menge egal?
Weil bei 2 Gleichungen, also die erste und 2te betrachtet, gilt ja mit Rangbetrachtung und Spaltenbetrachtung, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
Finde ich so einen Lösungsvektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z}, [/mm] wie kann ich mir das mit dem Skizzieren vorstellen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 So 03.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Was ist [mm] $\IL [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] noch hinzuzufügen?
Die Anschauung.
Also: Welche Lagebeziehung können zwei Ebenen zueinander haben? (3 Möglichkeiten)
Was passiert, wenn eine weitere Ebene dazu kommt, alle Möglichkeiten für alle drei Fälle von eben.
Dann schau Die drei Ebenen an und überlege, welche Fälle direkt ausscheiden. Dann bleibt eigentlich nur ein Fall über.
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