geo. Vorst. mittlere Krümmung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe keine konkrete Aufgabe, sondern ehr eine allgemeine Frage. Ich hoffe, dass mir geholfen werden kann.
Es geht um die geometrische Vorstellung der mittleren Krümmung im [mm] \IR^3. [/mm] Diese ist definiert über [mm] H=\frac{1}{2}(\kappa_1+\kappa_2), [/mm] wobei [mm] \kappa_i [/mm] die Hauptkrümmungsrichtungen.
Wie kann ich mir diese vorstellen und warum verschwindet diese bei Minimalflächen (geometrisch gesehen!)?
Das gleiche Problem gilt für die Gauß-Krümmung [mm] K=\kappa_1*\kappa_2. [/mm] Welche Vorstellung kann man hier haben?
Danke!
Gruß Patrick
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> Hallo,
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> ich habe keine konkrete Aufgabe, sondern eher eine
> allgemeine Frage. Ich hoffe, dass mir geholfen werden kann.
> Es geht um die geometrische Vorstellung der mittleren
> Krümmung im [mm]\IR^3.[/mm] Diese ist definiert über
> [mm]H=\frac{1}{2}(\kappa_1+\kappa_2),[/mm] wobei [mm]\kappa_i[/mm] die
> Hauptkrümmungsrichtungen.
Genauer: [mm] \kappa_1 [/mm] und [mm] \kappa_2 [/mm] sind die beiden Hauptkrüm-
mungen, welche längs der Hauptkrümmungslinien
gemessen werden. Die Hauptkrümmungslinien
kreuzen sich im betrachteten Flächenpunkt
rechtwinklig.
> Wie kann ich mir diese vorstellen und warum verschwindet
> diese bei Minimalflächen (geometrisch gesehen!)?
Legen wir ein lokales Koordinatensystem so,
dass die (orientierte) Flächennormale in die
positive z-Richtung zeigt. Die Tangenten an
die Hauptkrümmungslinien im Nullpunkt zeigen
die Richtungen der x- und der y-Achse an.
Ist die Fläche z.B. eine Kugel vom Radius r
mit Mittelpunkt M(0/0/r), welche die x-y-Ebene
in O(0/0/0) berührt, so ist [mm] \kappa_1=\kappa_2=\frac{1}{r}
[/mm]
und damit auch [mm] H=\frac{1}{r} [/mm] .
H wird dann gleich null, wenn [mm] \kappa_2=-\kappa_1 [/mm] .
Der betrachtete Flächenpunkt ist dann entweder
ein Flachpunkt (wenn [mm] \kappa_1=\kappa_2=0)
[/mm]
oder ein Sattelpunkt spezieller Art: die beiden
Hauptkrümmungen sind zwar gleich groß, aber
eben die eine nach unten (stell' dir dazu den
Wanderweg vor, der über den Sattel zwischen zwei
Hügeln führt), die andere nach oben (das wenig
begangene Weglein von einer Hügelkuppe hin-
unter zum Sattel und dann hinauf zur anderen
Hügelkuppe).
>
> Das gleiche Problem gilt für die Gauß-Krümmung
> [mm]K=\kappa_1*\kappa_2.[/mm] Welche Vorstellung kann man hier
> haben?
Hier ist insbesondere das Vorzeichen wichtig,
denn es entscheidet darüber, ob die Fläche
lokal entweder kugel/ellipsoidartig gekrümmt,
zylinderartig (intrinsisch lokal "flach") oder
sattelartig ist.
Eine Kugelfläche hat überall die konstante
positive Gaußsche Krümmung [mm] K=\kappa^2=\frac{1}{r^2} [/mm] .
Eine Eifläche (Hühnereischale) hat überall
eine positive, aber lokal unterschiedliche
Gaußkrümmung. Den größten Wert hat sie
am "spitzen" Ende des Eis.
Eine Zylinderfläche oder auch eine Kegelfläche
hat überall die Gaußkrümmung Null. Dies hängt
damit zusammen, dass man eine ebene Fläche
zu einem Zylinder oder zu einer kegelförmigen
Tüte zusammenrollen kann, ohne die innere
Metrik lokal zu stören - abgesehen von der
Kegelspitze.
Der Schalltrichter einer Trompete oder Tuba
ist ein Beispiel für eine Fläche mit negativer
Gaußscher Krümmung.
Gruß Al-Chw.
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Hallo!
Danke für die bisherige Antwort. Aber ich muss nochmal spezieller nachfragen, weil mir das immer noch nicht ganz klar ist.
Bei Minimalfläche ist die mittlere Krümmung H=0, also [mm] \kappa_1=-\kappa_2. [/mm] Typische Beispiele für Minimalflächen sind das Katenoid und das Helikoid, siehe: ![[]](/images/popup.gif) http://www-m10.ma.tum.de/~vogel/Diffgeo/Maple/katenoid_wendelfl.html
Wie kann man hier erkennen, das überall H=0 gilt??
Es gilt ja nicht [mm] \kappa_1=\kappa_2=0, [/mm] also muss [mm] \kappa_1=-\kappa_2 [/mm] sein. Das kann ich aber nicht wirklich nachvollziehen.
Es ist ja nicht so ein typischer "Sattel" wie bei deinem Beispiel mit den Bergen.
Danke,
viele Grüße Patrick
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> Hallo!
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> Danke für die bisherige Antwort. Aber ich muss nochmal
> spezieller nachfragen, weil mir das immer noch nicht ganz
> klar ist.
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> Bei Minimalfläche ist die mittlere Krümmung H=0, also
> [mm]\kappa_1=-\kappa_2.[/mm] Typische Beispiele für Minimalflächen
> sind das Katenoid und das Helikoid, siehe:
> http://www-m10.ma.tum.de/~vogel/Diffgeo/Maple/katenoid_wendelfl.html
>
> Wie kann man hier erkennen, das überall H=0 gilt??
> Es gilt ja nicht [mm]\kappa_1=\kappa_2=0,[/mm] also muss
> [mm]\kappa_1=-\kappa_2[/mm] sein. Das kann ich aber nicht wirklich
> nachvollziehen.
> Es ist ja nicht so ein typischer "Sattel" wie bei deinem
> Beispiel mit den Bergen.
>
> Danke,
> viele Grüße Patrick
Hallo Patrick,
naja, um die Eigenschaft H=0 exakt zu überprüfen,
ist wohl die Berechnung der Hauptkrümmungen
notwendig. Das Bild mit dem Bergsattel war eigent-
lich vor allem dazu gedacht, die entgegengesetzten
Vorzeichen der Hauptkrümmungen anschaulich zu
machen. Um H=0 zu haben, müssen diese aber
auch noch betragsmässig gleich groß sein. Dies
kann man nicht so einfach "von Auge" erkennen.
Auf der verlinkten Seite fand ich vor allem die
isometrische Verwandlung der beiden Flächen
geil ...
LG Al-Chw.
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Hallo zusammen,
ich zitiere gerne, wenn es um kruemmung von flaechen geht (insbesondere die gauss'sche Kruemmung), folgenden paragraph von wikipedia (unter 'theorema egregium'):
An application of the Theorema Egregium is seen in a common pizza- eating strategy: A slice of pizza can be seen as a surface with constant Gaussian curvature 0. Gently bending a slice must then roughly maintain this curvature (assuming the bend is roughly a local isometry). If one bends a slice horizontally across a radius, non-zero principal curvatures are created along the bend, dictating that the other principal curvature at these points must be zero. This creates rigidity in the direction perpendicular to the fold, an attribute desirable when eating pizza (since it prevents the pizza toppings from falling off).
Fuer die nicht-anglisten: eine anwendung des theorema egregium von Gauss ist eine beliebte pizza-ess-strategie. Nimmt man ein stueck pizza, so ist dieses annaehernd flach und hat daher die gauss'sche kruemmung $K=0$. Jeder kennt nun das problem, dass die pizza recht weich ist und man nicht einfach das stueck am rand anfassen und hochheben kann (weil sonst das stueck knicken und pilze und sonstiger belag runterrutschen wuerde...). Wenn man das stueck aber so zusammendrueckt, dass in einer richtung eine kruemmung entsteht, so gewinnt das stueck an stabilitaet. Und zwar deshalb, weil die gauss'sche kruemmung unveraendert bleiben muss und daher die zweite hauptkruemmung gleich 0 sein muss. In der richtung orthogonal zur gekruemmten richtung versucht die pizza also 'gerade' zu bleiben.
Wie auch immer, ich finde das ganz interessant... 
gruss
matthias
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