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| Aufgabe |
a) Untersuche die Funktion f(x)=4/x²+1
b) Bestimme die Steigung der Wendetangente.
c) An welchen Stellen hat die Tangente an den Graphen von f die Steigung -2?
d) Man kann gleichschenklige Dreiecke zeichnen, die zur y-Achse symmetrisch sind.
Ihre Spitzen liegen im Punkt O(0/0) und ihre anderen Ecken sind Punkte des
Graphen von f. Welche dieser Dreiecke hat den größtmöglichen Inhalt?
e) Lässt man die in d) bezeichneten Dreiecke um die x-Achse rotieren, entstehen
Doppelkegel. Welcher dieser Körper hat das größte Volumen.
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Lösungsversuche:
zu a) Nullstellen: keine
Symmetrie: achsensymmetrisch, f(x)=f(-x)
Asymptote: yA=0
Polgerade: keine
Ich habe ein Problem mit den Extrempunkten:
Mein Anfang:
1.Ableitung
u=4 u=0
v=x²+1 v=2x
f(x)=0*( x²+1)-(4*2x)/(2x)²
=-8x/ (2x)²
2.Ableitung
i=2x i= 2
a=i² a=2i
u=-8x u=8-
v=(2x)² v=2*2(2x)=4(2x)
[mm] f(x)=-8*2x-(-8x)*4(2x)/(2x)^4
[/mm]
= [mm] -16x+32/(2x)^3
[/mm]
f'(0)=-8x/ (2x)²
0=xE
[mm] f''(0)=-16x+32/(2x)^3
[/mm]
= n.l
meine Frage: warum kommt da nicht lösbar raus? Müsste da nicht was anderes raus kommen. Woher weiß ich denn dann ob das ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt ist?
und wie rechne ich die Wendepunkte und den Rest aus?
Könnt ihr mir bitte helfen?
mfg Fillimaus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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[mm] \text{Hi.}
[/mm]
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> Lösungsversuche:
> zu a) Nullstellen: keine
[mm] \text{Korrekt.}
[/mm]
> Symmetrie: achsensymmetrisch, f(x)=f(-x)
[mm] \text{Stimmt.}
[/mm]
> Asymptote: yA=0
[mm] \text{Richtig. Ich würde aber auch deinen Rechenweg darstellen.}
[/mm]
> Polgerade: keine
[mm] \text{Richtig. Würde das auch hier rechnerisch zeigen.}
[/mm]
> Ich habe ein Problem mit den Extrempunkten:
> Mein Anfang:
>
> 1.Ableitung
> u=4 u=0
> v=x²+1 v=2x
>
> f(x)=0*( x²+1)-(4*2x)/(2x)²
> =-8x/ (2x)²
[mm] \text{Das ist falsch. Du darfst Quotienten nicht einfach nenner- und zählerweise ableiten. Du musst hier entweder}
[/mm]
[mm] \text{die Ketten- oder die Quotientenregel anwenden (Kettenregel in diesem Fall einfacher). Bei der zweiten Ablei-}
[/mm]
[mm] \text{tung dann aber entweder Quotienten- oder Produktregel.}
[/mm]
[mm] \text{Zur Erinnerung:}
[/mm]
[mm] \text{Quotientenregel:}
[/mm]
[mm] $\left(\bruch{u}{v}\right)':=\bruch{u'*v-u*v'}{v^2}$
[/mm]
[mm] \text{Kettenregel:}
[/mm]
[mm] $\left(u\left(v(x)\right)\right)':=u'\left(v(x)\right)*v'(x)$
[/mm]
[mm] \text{Produktregel:}
[/mm]
[mm] $\left(u*v\right)':=u'*v+u*v'$
[/mm]
[mm] $f:f(x)=\bruch{4}{x^2+1} \Rightarrow f':f'(x)=\left(4\left(x^2+1\right)^{-1}\right)'=-4\left(x^2+1\right)^{-2}2x \Rightarrow f'':f''(x)=\left(\bruch{-8x}{\left(x^2+1\right)^2}\right)'=\bruch{-8*\left(x^2+1\right)^2-\left(-8x*4x\left(x^2+1\right)\right)}{\left(x^2+1\right)^4}=\bruch{24x^2-8}{\left(x^2+1\right)^3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f''':f'''(x)=\bruch{48x*\left(x^2+1\right)^3-\left(\left(24x^2-8\right)6x\left(x^2+1\right)^2\right)}{\left(x^2+1\right)^6}=\bruch{-96x^3+96x}{\left(x^2+1\right)^4}$
[/mm]
>
> 2.Ableitung
> i=2x i= 2
> a=i² a=2i
> u=-8x u=8-
> v=(2x)² v=2*2(2x)=4(2x)
>
> $ [mm] f(x)=-8\cdot{}2x-(-8x)\cdot{}4(2x)/(2x)^4 [/mm] $
> = $ [mm] -16x+32/(2x)^3 [/mm] $
>
> f'(0)=-8x/ (2x)²
> 0=xE
>
> $ [mm] f''(0)=-16x+32/(2x)^3 [/mm] $
> = n.l
>
> meine Frage: warum kommt da nicht lösbar raus?
[mm] \text{ist ja jetzt klar, warum, oder?}
[/mm]
> Müsste da nicht was anderes raus kommen. Woher weiß ich denn dann ob > das ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt ist?
[mm] \text{Das überprüfst du, indem du die x-Koordinate der möglichen Extremstelle in die 2. Ableitung einsetzt.}
[/mm]
> und wie rechne ich die Wendepunkte und den Rest aus?
[mm] \text{Wendepunkte: 2. Abl. gleich 0 und 3. ungleich 0. Bei der Dreieckssache kannst du ja mal überlegen, wie sich die}
[/mm]
[mm] \text{Dreiecksseiten zusammensetzen.}
[/mm]
>
> Könnt ihr mir bitte helfen?
> mfg Fillimaus
>
>
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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