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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
Gegeben ist die Funktionenschar f t (x) = [mm] x^2 [/mm] + t - 1 / x+1
für t > 0
Aufgabe ist es eine Kurvendiskussion durchzuführen. Die Punkte Def. Menge , Nullstellen, Polstelle , Asymptote, Extrema, Wendepunkte) sollen bearbeitet werden ....
Dazu kann ich auf dem ersten Blick folgendes sagen : Def Menge dürfte x Element [mm] \IR [/mm] sein ausser ausser [mm] \{für t>0 \} [/mm] , ausser zahlen kleiner null....für t.... kann man das so schreiben (voraussgesetzt es ist richtig?)
Nullstellen zähler = 0 setzen und für t etwas einsetzen damit ich nicht 2 variablen habe richtig? also zahl über 0 einsetzten in dem Fall .. mach ich gleich
Polstelle ist bei -1 sieht man ja am Nenner.
Asymptote weiss ich nicht mehr wie man die ausrechnet je nach Bedingung glaube ich jenachdem ob Zählergrad > Nennergrad oder Nennergrad > Zählergrad oder N=Z ist ...hier wäre ja zählergrad größer nennergrad und ich glaube da muss man dann polynomdivision machen...
extrem und wendepunkte sind kein thema kann ich...
Nun werde ich auch gleich erstmal die ableitungen machen und melde mich dann nochmal
ALLERDINGS sollten auch die Ortskurven der Tiefpunkte bestimmt werden DA habe ich KEINE AHNUNG ... Wäre nett wenn ihr mir die Vorgehensweise dazu erklären könntet.
Ich fange jetzt erstmal an und bin schon gespannt auf eure Antworten.
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Hallo!
Ich weiss nicht wie du das mit der Definitionsmenge meinst. Wenn du sagen willst dass nur positive Werte zugelassen sind dann ist das nicht richtig. Schaue dir dazu den Nenner der Funkition an. Welche Wert für x muss ausgeschlossen werden? Ich sage bewußt "welcher Wert", weil es nur einen gibt.
Nullstellen: [mm] f_{t}(x)=0
[/mm]
Du sollst nichts für t einsetzen denn es soll ja für alle t>0 gelten.
Also:
[mm] x^{2}+t-1=0 \gdw x^{2}=1-t \gdw \\x=....
[/mm]
Polstelle hast du richtig angegeben.
Asmyptote: Führe so wie du es schon sagtest eine Polynomdivision durch.
Um die Ortskurve zu ermitteln brauchst du ja die vorher erechneten sachen wie Extrema speziel in deinem Fall den Tiefpunkt. Schaue dir hierzu folgendes ![[]](/images/popup.gif) Beispiel an.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
Ich Dummkopf^^
ja klar die frage nach dem wert der ausgeschlossen werden kann ist klar^^
Also x Element [mm] \IR [/mm] ....ausser -1 da ist ja auch die polstelle...
Ja und zur Ortskurve ist ja meine Frage wie ich die ermitteln kann . Das ich die erste Ableitung erstmal brauche weiß ich doch  ABER Welche exakten Arbeitsschritte sind nötig mit allen zwischenschritten? Zum ermitteln der Ortskurve. (Wiki links haben mir in Mathe nie wirklich weitergeholfen besser wäre da ne kurze knackige erklärung der arbeitsschritte von wem anders....)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 10.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo bliblub!
Für die Ortskurve musst Du den Term für Deinen ermittelten Tiefpunkt [mm] $x_T [/mm] \ = \ ...$ nach dem Parameter $t \ = \ ...$ umstellen und in die Ausgangsfunktionsgleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
Noch eine Frage:
Bin gerade bei den Ableitungen:
Muss man für t etwas einsetzen (ausser -1 hier) meinetwegen die zahl 2 in die orginal funktion um ableiten zu können?
`
oder muss das t mit abgeleitet werden?
zweite frage:
Bei der polynomdivision was einsetzen? ausser -1 natürlich wieder?
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Hallo!
> Noch eine Frage:
>
> Bin gerade bei den Ableitungen:
>
> Muss man für t etwas einsetzen (ausser -1 hier) meinetwegen
> die zahl 2 in die orginal funktion um ableiten zu können?
>
Nein es muss nichts eingesetzt werden und es darf ja auch nichts eingesetzt werden.
> oder muss das t mit abgeleitet werden?
>
Nein auch nicht. Dein t ist ein Parameter. Du differenzierst nach x.
Bsp: [mm] f_{a}(x)=ax^{2} \Rightarrow f_{a}'(x)=2ax \Rightarrow f_{a}''(x)=2a \Rightarrow f_{a}'''(x)=0
[/mm]
>
>
> zweite frage:
>
> Bei der polynomdivision was einsetzen? ausser -1 natürlich
> wieder?
Nein auch nicht. t wird als Parameter beibehalten.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
Hab die erste Ableitung:
= (2x+t) * (x+1) - ( [mm] x^2 [/mm] +t -1) * (1) / [mm] (x+1)^2
[/mm]
= [mm] (2x^2 [/mm] + tx +2x +t) - ( [mm] x^2 [/mm] + t -1) / [mm] (x+1)^2
[/mm]
= [mm] x^2 [/mm] +tx +2x -1 / [mm] (x+1)^2
[/mm]
richtig? falls ja...
Hier mein Ansatz zur zweiten abl.
= (2x+t+2) * [mm] (x+1)^2 [/mm] - [mm] (x^2 [/mm] + tx +2x -1) * (x+1) / [mm] (x+1)^4 [/mm] soweit mein Ansatz.
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Hallo bliblub,
vorab: Bitte nutze zur besseren Lesbarkeit den Formeleditor. Unter dem Eingabefeld sind Formeln. Klicke darauf, dann wird der code angezeigt, den du eintippen musst
Bsp.: \bruch{x^2+t-1}{x+1} ergibt [mm] $\bruch{x^2+t-1}{x+1}$
[/mm]
Ansonsten setze Klammern. Es gilt nämlich Punkt-vor Strichrechnung!
> Hab die erste Ableitung:
>
> = [mm] \red{[}(2x+t) [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") * (x+1) - ( [mm]x^2[/mm] +t -1) * [mm] (1)\red{]} [/mm] / [mm](x+1)^2[/mm]
>
> = [mm](2x^2[/mm] + tx +2x +t) - ( [mm]x^2[/mm] + t -1) / [mm](x+1)^2[/mm]
>
> = [mm]x^2[/mm] +tx +2x -1 / [mm](x+1)^2[/mm]
>
> richtig? falls ja...
Leider nein, Tyskie hat dir doch in seinem post oben schon gesagt, dass du $t$ als Parameter wie eine "normale" Zahl behandeln kannst
Was ist denn die Ableitung von [mm] $x^2+\blue{5}-1$
[/mm]
Doch $2x+0-0=2x$
Und was dann die von [mm] $x^2+\blue{t}-1$?
[/mm]
Denke dir, statt $t$ stünde dort irgendeine reelle Zahl > 0, zB die blaue 5
Die verschwindet doch bei der Ableitung, dh, sie wird zu 0
>
> Hier mein Ansatz zur zweiten abl.
>
> = (2x+t+2) * [mm](x+1)^2[/mm] - [mm](x^2[/mm] + tx +2x -1) * (x+1) / [mm](x+1)^4[/mm]
> soweit mein Ansatz.
>
Folgefehler, aber die Quotientenregel ist auch hier für die 2.Ableitung der richtige Ansatz
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Do 10.04.2008 | | Autor: | crashby |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hey,
$f_t (x)= \bruch{x^2+t-1}{x+1} $
Nun die Quotietenregel:
$ {f_t}'(x)=\frac{2x\cdot (x+1)-(x^2+t-1)\cdot 1}{(x+1)^2} $
$ {f_t}(x)=\frac{2x^2+2x-x^2-t+1}{(x+1)^2 $
Nun einfach zusammenfassen.
Bei der zweiten Ableitung kannst du dann schön was ausklammern.
Kommst du damit weiter ?
lg George
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
zweiter vorschlag erste ableitung:
= (2x) * (x+1) - ( [mm] x^2 [/mm] +t -1) * (1) / [mm] (x+1)^2
[/mm]
= [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 2x + t -1 / [mm] (x+1)^2
[/mm]
zweite abl.
ansatz: [mm] (6x^2 [/mm] -2x +2) * [mm] (x+1)^2 [/mm] - [mm] (2x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 2x + t -1) * [mm] (x+1)^2 [/mm] / [mm] (x+1)^4
[/mm]
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Hallo!
> zweiter vorschlag erste ableitung:
>
> = (2x) * (x+1) - ( [mm]x^2[/mm] +t -1) * (1) / [mm](x+1)^2[/mm]
>
> = [mm]2x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] + 2x + t -1 / [mm](x+1)^2[/mm]
>
>
crashby hat dir die richtige Ableitung gegeben. Du muss sie nur noch zusammenfassen.
> zweite abl.
>
> ansatz: [mm](6x^2[/mm] -2x +2) * [mm](x+1)^2[/mm] - [mm](2x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] + 2x + t -1)
> * [mm](x+1)^2[/mm] / [mm](x+1)^4[/mm]
Demnach ist die 2. Ableitung leider auch falsch. Aber wie gesagt der Ansatz bei der 2 Ableitung mit der QR ist in Ordnung.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
owe owe heut klappt ja echt wenig bei mir :-(
hier mein vorschlag zur zweiten ableitung:
= (2x+2) * [mm] (x^2+1) [/mm] - [mm] (x^2 [/mm] +2x -t +1) * (2x) / [mm] (x+1)^4
[/mm]
= [mm] -2x^2 [/mm] +2tx +2 / [mm] (x+1)^4/ [/mm]
richtig? hab jetzt das t mitnehmen müssen weil halt bei u im zhler das t drin bleibt... und jetzt bin ich mir nicht sicher obs wegfällt beim zusammenfassen oder so wie ichs habe mit 2tx richtig ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Do 10.04.2008 | | Autor: | crashby |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi benutze bitte durchgängig den Formeleditor.
$ {f_t}'(x)=\frac{2x^2+2x-x^2-t+1}{(x+1)^2 $
zusammenfassen ergibt:
$ {f_t}'(x)=\frac{x^2+2x-t+1}{(x+1)^2 $
$ {f_t}''(x)=\frac{(2x+2)\cdot (x+1)^2-(x^2+2x-t+1)\cdot 2\cdot(x+1)\cdot 1}{(x+1)^4 $
Beachte die Kettenregel!
Also $ v=(x+1)^2 $
dann ist $ v'=2\cdot (x+1)\cdot 1 =2x+2 $
oder eben binomische Formel: $ v= x^2+2x+1 $
$ v'= 2x+2 $
Und siehe da es ist dasselbe 
Danch betrachte meine zweite Ableitung also:
$ {f_t}''(x)=\frac{(2x+2)\cdot (x+1)^2-(x^2+2x-t+1)\cdot 2\cdot(x+1)\cdot 1}{(x+1)^4 $
nun kann man im Zähler was vereinfachen.....siehst du was ich meine ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Do 10.04.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Der Nenner deiner zweiten Ableitung stimmt nicht ganz. siehe meine Rechung unten. Du hast auch nicht genügend zusammengefasst sodass die Ableitung ziemlich kompliziert aussieht
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Do 10.04.2008 | | Autor: | crashby |
jap habe es eben gesehen....Fussball und Mathe ;)
Das mit dem Zusammenfassen habe ich erstmal so gemacht,weil ich gucken wollte ob er das mit dem Ausklammern, was man ja häufig bei der zweiten und zb dritten Ableitung macht auch sieht.
Deine Rechnung ist natürlich schöner :)
greetz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
ok ich verstehe. Nun bin ich bei den extrempunkten:
und habe
-8x+2tx-t+1=0 wenn ich alles mit t zusammen auf eine seite bringe habe ich [mm] x^2=0 [/mm] aber das kann doch nicht sein richtig?
Wie muss ich es richtig umstellen ich muss das t doch irgendwie wegkriegen... ich habe leider keine ahnung mehr und ich habe lange nicht mehr so mit kurvenscharen gerechnet :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Do 10.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Du behandelst t als "wäre es eine Zahl". Dann erhälst du für x einen Term der von t abhängt. Das heißt je nach t ergeben sich andere Werte, du gibst nur einen allgemeinen Term, keine explizite Zahl an
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
ich komm da nie drauf...wie muss ich jetzt vorgehen ich sehe immer noch eine gleichung mit 2 unbekannen vor mir
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Hallo!
Zu lösen ist:
x²+2x+1-t=0
Womit? pq Formel.
[mm] x_{0}=-\bruch{2}{2}\pm\wurzel{(-\bruch{2}{2})²-(1-t)}=-1\pm\wurzel{1-(1-t)}=-1\pm\wurzel{1-1+t}=-1\pm\wurzel{t}
[/mm]
Somit hast du deine zwei Kandidaten gefunden. Setze das nun in die 2. Ableitung ein und schau ob da was >0 oder <0 herauskommt damit du entscheiden kannst ob dort ein hochpunkt oder tiefpunkt vorliegt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
setze für t also eine zahl ein 2 das in der wurzel - 1 +1.4142 -
und - 1.4142
ich kann ja auch genauso 3 angeben oder 4 oder was anderes für 4 oder setze ich einfach das -1 in die zweite ableitung und sonst nix
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Hallo!
Ich frage mich warum ich dich nicht davon überzeugen kann dass du für dein t keine Zahlen einzusetzen brauchst
Die Kandidaten waren:
[mm] x_{1}=-1+\wurzel{t}
[/mm]
[mm] x_{2}=-1-\wurzel{t}
[/mm]
Nun setze dies (also dein [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}) [/mm] jeweils in die zweite Ableitung ein.
Also:
[mm] f_{t}''(-1+\wurzel{t})=...
[/mm]
[mm] f_{t}''(-1-\wurzel{t})=...
[/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Do 10.04.2008 | | Autor: | bliblub |
puh ich denke ich hab jetzt soweit alles.....ich würde sagen es ist schon spät und ich werde die aufgabe nochmal ausführlich wann anders mit euch im forum machen....aber bis dahin danke eich schonmal allen!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Do 10.04.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
woher hast du das hier: -8x+2tx-t+1=0 ?
unsere erste Ableitung war doch:
$ [mm] {f_t}'(x)=\frac{x^2+2x-t+1}{(x+1)^2} [/mm] $
oder eben die Lösung von Tyskie84
Bei Extrema musst $ f'(x)=0 $ setzen
also löse das hier:
$ [mm] x^2+2x-t+1=0 [/mm] $
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Do 10.04.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Wie kommst du auf den Term "-8x+2tx-t+1=0" ?
Richtig muss es doch x²+2x+1-t=0 heissen.
Und das löst du mit der pq Formel mit p=2 und q=(1-t)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Do 10.04.2008 | | Autor: | crashby |
So Tyskie84 mach du mal weiter :)
hab morgen Prüfung
lg und schönen ABendn och
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Do 10.04.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo George!
> So Tyskie84 mach du mal weiter :)
>
> hab morgen Prüfung
>
> lg und schönen ABendn och
Jo mach ich!
Dann drück ich dir mal die Daumen für morgen!
Gruß
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Hallo!
Nun ich setze mal an der Ableitung von crashby an denn ich denke du hast nicht genügend zusammengetasst sodass dir die 2. Abeitung probleme bereitet:
Also es war:
[mm] f'(x)=\bruch{2x²+2x-x²-t+1}{(x+1)²}=\bruch{x²+2x-t+1}{(x+1)²}=\bruch{(x+1)²-t}{(x+1)²}=1-\bruch{t}{(x+1)²}
[/mm]
Abzuleiten ist also nur der Term [mm] -\bruch{t}{(x+1)²}
[/mm]
Hier können wir auch die QR benutzen:
Dann ist
u(x)=-t
u'(x)=0
v(x)=(x+1)²
v'(x)=2(x+1)
[mm] f''(x)=\bruch{2t\cdot(x+1)}{(x+1)^{4}}=\bruch{2t}{(x+1)^{3}}
[/mm]
Ok?
Gruß
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