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Hallo!
Habe eine Frage zu folgender Funktion:
[mm] \bruch{3x^2}{9x^3+18}
[/mm]
Wenn ich diese nach dem ich ausgekürzt habe integriere , bekomme ich 1/9 [mm] ln(x^3+2) [/mm] heraus, integriere ich ohne vorheriges auskürzen erhalte ich 1/9 [mm] ln(9x^3+18)
Woran [/mm] leigt dass, bei diesem Typ aufgabe immer alles auskürzen, wenn ja warum?
Wäre super, wenn mir jmd antwortet
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Hallo Fuchsschwanz!
> Habe eine Frage zu folgender Funktion:
> [mm]\bruch{3x^2}{9x^3+18}[/mm]
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> Wenn ich diese nach dem ich ausgekürzt habe integriere ,
> bekomme ich 1/9 [mm]ln(x^3+2)[/mm] heraus, integriere ich ohne
> vorheriges auskürzen erhalte ich 1/9 [mm]ln(9x^3+18)
Woran[/mm]
> leigt dass, bei diesem Typ aufgabe immer alles auskürzen,
> wenn ja warum?
Was hast du denn da gekürzt? Das einzige, was du kürzen kannst, ist mit 3. Und leider sind beide deine Ergebnisse nicht richtig - wenn du deinen Rechenweg postest, können wir vielleicht die Fehler finden. Es ist egal, wie du es berechnest, es muss immer dasselbe rauskommen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Do 23.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fuchsschwanz!
Dein 1. Ergebnis ist falsch. Das zweite Ergebnis (ohne Kürzen) ist richtig.
Aber auch mit Kürzen (und zwar die 3, wie Bastiane schon schrieb) erhältst Du ein 2. Ergebnis.
Allerdings unterscheiden sich diese beiden Lösungen lediglich um einen konstanten Summanden, der bei unbestimmten Integralen als Integrationskonstante unerläßlich ist.
Dieser Unterschied lässt sich durch Anwendung der  Logarithmusgesetze zeigen:
[mm] $\ln[a*f(x)] [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)+\ln[f(x)]$
[/mm]
Denn der Loagrithmus einer konstanten Zahl $a_$ ist wiederum auch konstant.
Gruß
Loddar
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Hallo!
Super, danke für eure antwort... man sollte mal wieder in doe Log gesetze schauen...
habe noc ne weitere Frage, thematisch hierzu gehörig...
[mm] \bruch{x-3}{(x-1)^2}
[/mm]
Diese Funktion würde ich über substitution lösen...wäre es auch möglich die Fkt als Produkt zu schreiben und dann partielle Integration? Habs versucht bekomme aber anderes ergebnis...kann ich mla wieder nicht rechnen oder spricht etw gegen diesen weg?
Lg
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> Hallo!
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> Super, danke für eure antwort... man sollte mal wieder
> in doe Log gesetze schauen...
> habe noc ne weitere Frage, thematisch hierzu gehörig...
> [mm]\bruch{x-3}{(x-1)^2}[/mm]
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> Diese Funktion würde ich über substitution lösen...wäre es
> auch möglich die Fkt als Produkt zu schreiben und dann
> partielle Integration? Habs versucht bekomme aber anderes
> ergebnis...kann ich mla wieder nicht rechnen oder spricht
> etw gegen diesen weg?
Vielleicht ist es ja eine hübsche Übung in partiellem Integrieren, wer weiss:
[mm]\int\underset{\downarrow}{(x-3)}\cdot\underset{\uparrow}{\frac{1}{(x-1)^2}}\; dx=-(x-3)\frac{1}{x-1}+\int\frac{1}{x-1}\;dx=-1+\frac{2}{x-1}+\ln|x-1|+C[/mm]
Substitution $u := x-1$ ist aber meiner Meinung nach der üblichere Weg:
[mm]\int \frac{x-3}{(x-1)^2}\; dx = \int \frac{(x-1)-2}{(x-1)^2}\; dx=\int\frac{1}{x-1}\; dx-2\int\frac{1}{(x-1)^2}\; dx = \ln|x-1|+\frac{2}{x-1}+C[/mm]
Dass beim partiellen Integrieren noch zusätzlich zu $C$ die Konstante $-1$ auftritt ist natürlich unerheblich, da die Stammfunktion ohnehin nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fuchsschwanz!
Es ist zwar für gebrochen-rationale Funktionen ein eher ungewöhnlicher Weg ... aber hier funktioniert auch tatsächlich die partielle Integration mit $u \ := \ x-3$ sowie $v' \ := \ [mm] (x-1)^{-2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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