gebr.rationale f(x) ableiten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 09.04.2011 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | [mm] \(f(x)=\bruch{(x+1)^3}{(x-2)^2} [/mm]
[mm] \(x \in \IR \setminus \(2 [/mm] |
Hallo,
Ist meine Vorgehensweise korrekt oder könnte ich es mir vereinfachen?
Zunächst würde ich den Zähler ausklammern
[mm] \(f(x)=\bruch{x^3+3x^2+3x+1}{(x-2)^2}
[/mm]
dann mit Quotientenregel ableiten:
[mm] \(f(x)=\bruch{u}{v}
[/mm]
[mm] \(f'(x)=\bruch{u'v-uv'}{v^2}
[/mm]
[mm] \(f'(x)=\bruch{(3x^2+6x+3)(x^2-4x+4)-(x^3+3x^2+3x+1))(2x-4)}{(x-2)^4}
[/mm]
Habe für die Berechnung im Zähler [mm] \("v" [/mm] ausgeklammert... ist das korrekt so?
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Hallo, du hast keinen Fehler gemacht, vereinfache dir aber die Geschichte, nicht ausmultiplizieren
[mm] u=(x+1)^{3}
[/mm]
[mm] u'=3(x+1)^{2}
[/mm]
[mm] v=(x-2)^{2}
[/mm]
v'=2(x-2)
jetzt Quotientenregel, kürze dann noch (x-2)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Sa 09.04.2011 | | Autor: | m4rio |
Achso, Kettenregel, wenn ich mich nicht irre...
[mm] \(f'(x)=\bruch{(3(x+1))((x-2)^2)-((x+1)^3)(2(x-2))}{(x-2)^4}
[/mm]
[mm] \(f'(x)=\bruch{3(x+1)-((x+1)^3)(2(x-2))}{(x-2)^2}
[/mm]
[mm] \(f'(x)=\bruch{2x^4-2x^3+6x^2+13x+7}{(x-2)^2}
[/mm]
so korrekt?
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Hallo m4rio,
> Achso, Kettenregel, wenn ich mich nicht irre...
>
> [mm]\(f'(x)=\bruch{(3(x+1))((x-2)^2)-((x+1)^3)(2(x-2))}{(x-2)^4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier hast du im Zähler ein Quadrat unterschlagen!
Richtig:
$f'(x)=\frac{3(x+1)^{\red{2}}(x-2)^2-(x+1)^32(x-2)}{(x-2)^4$
Nun im Zähler $(x-2)$ ausklammern und gegen ein $(x-2)$ im Nenner wegballern.
Merke: Bei gebr. rationalen Fkten dieses Typs erhöht sich mit jeder Ableitung die Potenz im Nenner um 1 (du kannst immer entsprechend kürzen)
>
> [mm]\(f'(x)=\bruch{3(x+1)-((x+1)^3)(2(x-2))}{(x-2)^2}[/mm]
>
> [mm]\(f'(x)=\bruch{2x^4-2x^3+6x^2+13x+7}{(x-2)^2}[/mm]
>
>
> so korrekt?
Leider nicht - rechne nochmal nach ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 09.04.2011 | | Autor: | m4rio |
ok, hoffe, diesmal sieht es besser aus:
[mm] \(f'(x)=\bruch{3(x+1)^2(x-2)^2-(x+1)^3(2(x-2))}{(x-2)^4}
[/mm]
[mm] \(f'(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)-(x^3+3x^2+3x+1)(2x-4)}{(x-2)^2}
[/mm]
[mm] \(f'(x)=\bruch{3x^2+6x+3-2x^4-2x^3+6x^2+10x+4}{(x-2)^2}
[/mm]
[mm] \(f'(x)=\bruch{-2x^4-2x^3+9x^2+16x+7}{(x-2)^2}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> ok, hoffe, diesmal sieht es besser aus:
>
>
> [mm]\(f'(x)=\bruch{3(x+1)^2(x-2)^2-(x+1)^3(2(x-2))}{(x-2)^4}[/mm]
>
> [mm]\(f'(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)-(x^3+3x^2+3x+1)(2x-4)}{(x-2)^2}[/mm]
Nein, du kannst nur einmal [mm]x-2[/mm] kürzen:
[mm]f'(x)=\frac{3(x+1)^2\red{(x-2)^2}-(x+1)^32\red{(x-2)}}{(x-2)^4}=\frac{\red{(x-2)}\cdot{}\left[3(x+1)^2(x-2)-2(x+1)^3\right]}{(x-2)^4}[/mm]
[mm]=\frac{3(x+1)^2(x-2)-2(x+1)^3}{(x-2)^{\red{3}}}[/mm]
Nun kannst du, wenn du magst, im Zähler noch vereinfachen! (etwa [mm] $(x+1)^2$ [/mm] ausklammern)
>
> [mm]\(f'(x)=\bruch{3x^2+6x+3-2x^4-2x^3+6x^2+10x+4}{(x-2)^2}[/mm]
>
> [mm]\(f'(x)=\bruch{-2x^4-2x^3+9x^2+16x+7}{(x-2)^2}[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Sa 09.04.2011 | | Autor: | m4rio |
> Hallo nochmal,
>
>
> > ok, hoffe, diesmal sieht es besser aus:
> >
> >
> > [mm]\(f'(x)=\bruch{3(x+1)^2(x-2)^2-(x+1)^3(2(x-2))}{(x-2)^4}[/mm]
> >
> > [mm]\(f'(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)-(x^3+3x^2+3x+1)(2x-4)}{(x-2)^2}[/mm]
>
> Nein, du kannst nur einmal [mm]x-2[/mm] kürzen:
>
> [mm]f'(x)=\frac{3(x+1)^2\red{(x-2)^2}-(x+1)^32\red{(x-2)}}{(x-2)^4}=\frac{\red{(x-2)}\cdot{}\left[3(x+1)^2(x-2)-2(x+1)^3\right]}{(x-2)^4}[/mm]
>
> [mm]=\frac{3(x+1)^2(x-2)-2(x+1)^3}{(x-2)^{\red{3}}}[/mm]
>
ok... habe die hintere Klammer übersehen. Könnte ich, wenn beide [mm] \((x-2) [/mm] im Zähler den Exponenten [mm] \(2 [/mm] hätten, diese auch ganz eleminieren und im Nenner vom exponenten 2 abziehen...?
> Nun kannst du, wenn du magst, im Zähler noch vereinfachen!
> (etwa [mm](x+1)^2[/mm] ausklammern)
>
> >
hmm, ich hätte jetzt spontan den ganzen Zählerterm berechnet:
[mm] \(f(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)(x-2)-2(x^3+3x^2+3x+1)}{(x-2)^3}
[/mm]
[mm] \(f(x)=\bruch{x^3-6x^2-15x-8}{(x-2)^3}
[/mm]
> > [mm]\(f'(x)=\bruch{3x^2+6x+3-2x^4-2x^3+6x^2+10x+4}{(x-2)^2}[/mm]
> >
> > [mm]\(f'(x)=\bruch{-2x^4-2x^3+9x^2+16x+7}{(x-2)^2}[/mm]
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo nochmal,
>
> > Hallo nochmal,
> >
> >
> > > ok, hoffe, diesmal sieht es besser aus:
> > >
> > >
> > > [mm]\(f'(x)=\bruch{3(x+1)^2(x-2)^2-(x+1)^3(2(x-2))}{(x-2)^4}[/mm]
> > >
> > > [mm]\(f'(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)-(x^3+3x^2+3x+1)(2x-4)}{(x-2)^2}[/mm]
> >
> > Nein, du kannst nur einmal [mm]x-2[/mm] kürzen:
> >
> >
> [mm]f'(x)=\frac{3(x+1)^2\red{(x-2)^2}-(x+1)^32\red{(x-2)}}{(x-2)^4}=\frac{\red{(x-2)}\cdot{}\left[3(x+1)^2(x-2)-2(x+1)^3\right]}{(x-2)^4}[/mm]
> >
> > [mm]=\frac{3(x+1)^2(x-2)-2(x+1)^3}{(x-2)^{\red{3}}}[/mm]
> >
>
> ok... habe die hintere Klammer übersehen. Könnte ich,
> wenn beide [mm]\((x-2)[/mm] im Zähler den Exponenten [mm]\(2[/mm] hätten,
> diese auch ganz eleminieren und im Nenner vom exponenten 2
> abziehen...?
Ja, aber das wird bei den Ableitungen von Funktionen dieses Typs nicht passieren, wie schon erwähnt, erhöht sich der Exponent im Nenner mit jeder Ableitung um genau 1 (wenn du richtig vereinfachst und kürzt)
>
>
>
> > Nun kannst du, wenn du magst, im Zähler noch vereinfachen!
> > (etwa [mm](x+1)^2[/mm] ausklammern)
> >
> > >
>
>
>
> hmm, ich hätte jetzt spontan den ganzen Zählerterm
> berechnet:
>
> [mm]\(f(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)(x-2)-2(x^3+3x^2+3x+1)}{(x-2)^3}[/mm]
>
> [mm]\(f(x)=\bruch{x^3-6x^2-15x-8}{(x-2)^3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber [mm]f\red{'}(x)[/mm]
Wenn du nicht immer direkt hemmungslos ausmultiplizieren, sondern wie vorgeschlagen, [mm](x+1)^2[/mm] ausklammern würdest, würdest du schnell sehen, dass sich der Zähler als [mm](x+1)^2(x-8)[/mm] schreiben lässt.
Das erleichtert doch zB. die Bestimmung von Nullstellen immens, oder?
ZB. wenn du Extremata suchst ...
Gruß
schachuzipus
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 09.04.2011 | | Autor: | m4rio |
> Hallo nochmal,
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> > > Hallo nochmal,
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> > >
> > > > ok, hoffe, diesmal sieht es besser aus:
> > > >
> > > >
> > > > [mm]\(f'(x)=\bruch{3(x+1)^2(x-2)^2-(x+1)^3(2(x-2))}{(x-2)^4}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\(f'(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)-(x^3+3x^2+3x+1)(2x-4)}{(x-2)^2}[/mm]
> > >
> > > Nein, du kannst nur einmal [mm]x-2[/mm] kürzen:
> > >
> > >
> >
> [mm]f'(x)=\frac{3(x+1)^2\red{(x-2)^2}-(x+1)^32\red{(x-2)}}{(x-2)^4}=\frac{\red{(x-2)}\cdot{}\left[3(x+1)^2(x-2)-2(x+1)^3\right]}{(x-2)^4}[/mm]
> > >
> > > [mm]=\frac{3(x+1)^2(x-2)-2(x+1)^3}{(x-2)^{\red{3}}}[/mm]
> > >
> >
> > ok... habe die hintere Klammer übersehen. Könnte ich,
> > wenn beide [mm]\((x-2)[/mm] im Zähler den Exponenten [mm]\(2[/mm] hätten,
> > diese auch ganz eleminieren und im Nenner vom exponenten 2
> > abziehen...?
>
> Ja, aber das wird bei den Ableitungen von Funktionen dieses
> Typs nicht passieren, wie schon erwähnt, erhöht sich der
> Exponent im Nenner mit jeder Ableitung um genau 1 (wenn du
> richtig vereinfachst und kürzt)
>
> >
> >
> >
> > > Nun kannst du, wenn du magst, im Zähler noch vereinfachen!
> > > (etwa [mm](x+1)^2[/mm] ausklammern)
> > >
> > > >
> >
> >
> >
> > hmm, ich hätte jetzt spontan den ganzen Zählerterm
> > berechnet:
> >
> > [mm]\(f(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)(x-2)-2(x^3+3x^2+3x+1)}{(x-2)^3}[/mm]
> >
> > [mm]\(f(x)=\bruch{x^3-6x^2-15x-8}{(x-2)^3}[/mm]
>
> Aber [mm]f\red{'}(x)[/mm]
>
> Wenn du nicht immer direkt hemmungslos ausmultiplizieren,
> sondern wie vorgeschlagen, [mm](x+1)^2[/mm] ausklammern würdest,
> würdest du schnell sehen, dass sich der Zähler als
> [mm](x+1)^2(x-8)[/mm] schreiben lässt.
>
> Das erleichtert doch zB. die Bestimmung von Nullstellen
> immens, oder?
>
> ZB. wenn du Extremata suchst ...
>
hmmm, komme leider nicht, wie ich von
$ [mm] \(f(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)(x-2)-2(x^3+3x^2+3x+1)}{(x-2)^3} [/mm] $
auf diesen Zähler-Term komme:
[mm] \(f(x)=(x+1)^2(x-8)
[/mm]
würde mich aber sehr interessieren, wenn ich damit die kurvendisskusion vereinfachen könnte ... könnte mir jemand zeigen, wie ich darauf komme?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
> >
> > Vielen Dank für die Hilfe!
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Sa 09.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
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> hmmm, komme leider nicht, wie ich von
>
> [mm]\(f(x)=\bruch{3(x^2+2x+1)(x-2)-2(x^3+3x^2+3x+1)}{(x-2)^3}[/mm]
>
> auf diesen Zähler-Term komme:
>
> [mm]\(f(x)=(x+1)^2(x-8)[/mm]
>
> würde mich aber sehr interessieren, wenn ich damit die
> kurvendisskusion vereinfachen könnte ... könnte mir
> jemand zeigen, wie ich darauf komme?
>
>
Wenn du nicht ausklammerst, siehst du's wahrscheinlich schneller.
Aber es gilt:
[mm] x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^{3} [/mm] (Nach dem binomischen Lehrsatz [mm] (a+b)^{n}=\sum_{i=1}^{n}\vektor{n\\
k}\cdot a^{i}\cdot b^{n-i} [/mm]
Und [mm] x^2+2x+1=(x+1)^{2} [/mm]
Also gilt:
[mm] \frac{3(x^2+2x+1)(x-2)-2(x^3+3x^2+3x+1)}{(x-2)^3} [/mm]
[mm] =\frac{3(x+1)^{2}(x-2)-2(x+1)^{3}}{(x-2)^3} [/mm]
[mm] =\frac{3(x+1)^{2}(x-2)-2(x+1)^{2}(x+1)}{(x-2)^3} [/mm]
[mm] =\frac{(x+1)^{2}(3(x-2)-2(x+1))}{(x-2)^3} [/mm]
Den Rest schaffst du sicher alleine 
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Sa 09.04.2011 | | Autor: | m4rio |
danke!! Ja, den rest bekomm ich selbst hin :)
Allerdings würde ich eine solche vereinfachungsmöglichkeit nicht auf anhieb sehen und wohl auch beim ausklammern fehler machen...
werde wohl weiterhin skrupellos ausmultiplizieren :/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 So 10.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> danke!! Ja, den rest bekomm ich selbst hin :)
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> Allerdings würde ich eine solche
> vereinfachungsmöglichkeit nicht auf anhieb sehen und wohl
> auch beim ausklammern fehler machen...
Nicht schön, aber das passiert leider immer mal wider.
>
> werde wohl weiterhin skrupellos ausmultiplizieren :/
Davon würde ich dir, bei Anwendung der Produkt- und Quotientenregel dringend abraten, wie meine Vorschreiber auch. Du kannst bei der Quotientenregel fast immer ausklammern, und evtl dann sogar noch kürzen.
Hbat ihr schon die e-Funktion behandelt? Da ist das Ausklammern nämlich geradezu elemtar, um die Nullstellen der Funktion/der entsprechenden Ableitung zu finden.
Marius
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