gaußscher algorithmus < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Di 13.03.2007 | | Autor: | confused |
| Aufgabe | 2x+2y-3z+4t=13
4x-3y+z+3t=9
6x+4y+2z+2t=8
2x-5y+3z+t=1
anwendung des gau´schen algorithmus. |
ich hab's probiert, komm aber partout auf keine anständige lösung
vielleicht seht ihr den fehler:
I*2-II 4x+4y-6z+8t=26
4x -3y+z+3t=9
---------------------------------
A 7y-7z+5t=17
II-IV*2 4x-3y+z+3t=9
4x-10y+6z+2t=2
----------------------------------
B 7y-5z+t=7
-A 7y-7z+5t=17
----------------------------------
C 2z-4t=10
also hab ich nun
7y-7z+5t=17
2z-4t=10
-2y+11z-2t=-5 (III - I.*3)
-7y+6z-3t=12
IV-I -z+2t=29 als D
D*2+II -2z+4t=58
2z-4t=10
-----------------------------------
0=58
das hieße ja keine lösung. im lösungsheft aber steht als lösung {1;0;-1;2}
was hab ich falsch gemacht?
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> 2x+2y-3z+4t=13
> 4x-3y+z+3t=9
> 6x+4y+2z+2t=8
> 2x-5y+3z+t=1
>
> anwendung des gau´schen algorithmus.
> ich hab's probiert, komm aber partout auf keine
> anständige lösung
>
> vielleicht seht ihr den fehler:
>
> I*2-II 4x+4y-6z+8t=26
> 4x -3y+z+3t=9
> ---------------------------------
> A 7y-7z+5t=17
> II-IV*2 4x-3y+z+3t=9
> 4x-10y+6z+2t=2
> ----------------------------------
> B 7y-5z+t=7
> -A 7y-7z+5t=17
> ----------------------------------
> C 2z-4t=10 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hi, hier sollte [mm] \red{-}10 [/mm] stehen.
Dann nochmal von hieraus weiter 
Gruß
schachuzipus
> also hab ich nun
> 7y-7z+5t=17
> 2z-4t=10
> -2y+11z-2t=-5 (III - I.*3)
> -7y+6z-3t=12
>
> IV-I -z+2t=29 als D
> D*2+II -2z+4t=58
> 2z-4t=10
> -----------------------------------
> 0=58
> das hieße ja keine lösung. im lösungsheft aber steht als
> lösung {1;0;-1;2}
> was hab ich falsch gemacht?
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Di 13.03.2007 | | Autor: | confused |
ok trotzdem hab ich am ende noch das gleiche problem.
jetzt steht dort 0=48
da muss doch noch was falchs sein
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Da hat sich noch ein Fehler eingeschlichen, und zwar hier:
C 2z-4t=10
also hab ich nun
7y-7z+5t=17
2z-4t=10
-2y+11z-2t=-5 (III - I.*3)
da habe ich raus: [mm] -2y+11z\red{-10t=-31}
[/mm]
Klappt's damit?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Di 13.03.2007 | | Autor: | confused |
ne damit klappts ebenso wenig. brauchte die III. ja eh net. bekam dann aber für t= 4/5 raus. in der lösung stehen aber nur gerade zahlen (1,2 0)
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Hallo nochmal,
ich habs eben mal in der Matrixdarstellung nachgerechnet und kam auch auf die letzen beiden Werte 2 und -1, wenn du magst, kann ich die Rechnung posten, das wird nur ein paar Min. dauern, weil das einiges an Eintippelei ist.
Gruß
schachuzipus
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Also du kannst die Matrixschreibweise wie deine Schreibweise mit Gleichungen auffassen, ich lasse im Prinzip nur die Variablen weg, aber das kannste 1:1 übersetzen:
Also [mm] \pmat{ 2 & 2 & -3 & 4 & | & 13\\ 4 & -3 & 1 & 3 & | & 9 \\ 6 & 4 & 2 & 2 & | & 8 \\ 2 & -5 & 3 & 1 & | & 1}
[/mm]
(1) Addiere das -2fache der ersten Zeile zur zweiten
(2) Addiere das -3fache der ersten Zeile zur dritten
(3) Addiere das -1fache der ersten Zeile zur vierten
Das ergibt
[mm] \pmat{ 2 & 2 & -3 & 4 & | & 13\\ 0 & -7 & 7 & -5 & | & -17 \\ 0 & -2 & 11 & -10 & | & -31 \\ 0 & -7 & 6 & -3 & | & -12}
[/mm]
(1) Addiere die dritte Zeile zur ersten
(2) Addiere das -1fache der zweiten Zeile zur vierten
(3) Addiere das -2fache der zweiten Zeile zum 7fachen der dritten
ergibt
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 8 & -6 & | & -18\\ 0 & -7 & 7 & -5 & | & -17 \\ 0 & 0 & 63 & -60 & | & -183 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & | & 5}
[/mm]
(1)Addiere die dritte Zeile zum 63fachen der vierten
ergibt
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 8 & -6 & | & -18\\ 0 & -7 & 7 & -5 & | & -17 \\ 0 & 0 & 63 & -60 & | & -183 \\ 0 & 0 & 0 & 66 & | & 132}
[/mm]
So das ist die oben erwähnte Dreiecksform: unter dem ersten Eintrag [mm] \ne [/mm] 0 in jeder Zeile stehen lauter Nullen
Hier kannst du die Lösungen von unten nach oben ablesen/berechnen:
aus der vierten Zeile folgt nun 66t=132, also t=2 (passt schon mal)
das dann in die dritte eingesetzt: 63z-60t=-183, also [mm] 63z=-183+60\cdot{}2, [/mm] also z=-1
Dann weiter in die zweite Gleichung einsetzen. Das liefert dir y und dann das alles in die erste Zeile eingesetzt liefert x
Puh
Nun aber gute n8
schachuzipus
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Hallo confused,
also dein Rechenweg ist ziemlich unübersichtlich.
Wenn ich einen Tipp geben darf, um die Übersichtlichkeit zu verbessern:
Also probiere doch mal, das Gleichungssystem auf eine Stufenform zu bringen, in dem Sinne, dass du unterhalb der ersten Variable, die in einer Zeile auftaucht durch Elimination nur noch Nullen hast.
Ziel ist es, das Gleichungssystem in eine Dreiecksform zu bringen.
Wenn du zB. mal nacheinander das -2fache der ersten Zeile zur zweiten addierst, dann das -3fache der ersten Zeile zur dritten Zeile addierst und schließlich das -1fache der ersten Zeile zur vierten Zeile addierst, hast du unter dem Eintrag 2x in der ersten Zeile nur noch Nullen.
Dann versuche, unter dem y in der zweiten Zeile lauter Nullen hinzubasteln
Das erhöht sie Lesbarkeit und die Übersicht immens.
Wenn ihr schon Matrizen hattet, kannst du das natürlich noch eleganter in Matrixschreibweise lösen, das erhöht nochmals die Übersichtlichkeit.
Dein UrsprungsLGS entspricht in Matrixschreibweise der Gleichung
[mm] \pmat{ 2 & 2 & -3 & 4 \\ 4 & -3 & 1 & 3 \\ 6 & 4 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & 3 & 1}\cdot{}\vektor{x \\ y \\ z \\ t}=\vektor{13 \\ 9 \\ 8 \\ 1}
[/mm]
Stelle damit die sog. erweiterte Koeffizientenmatrix auf
[mm] \pmat{ 2 & 2 & -3 & 4 & | & 13\\ 4 & -3 & 1 & 3 & | & 9 \\ 6 & 4 & 2 & 2 & | & 8 \\ 2 & -5 & 3 & 1 & | & 1}
[/mm]
Diese bringe in die oben erwähnte Dreiecksform
Erlaubte Zeilenumformungen sind:
(1) Vertauschen von zwei Zeilen
(2) Addieren einer Vielfachen einer Zeile zu einer anderen
(3) Multilikation einer Zeile mit einem Skalare (=einer Zahl)
Gruß
schachuzipus
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