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ganzer Abschluss: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Di 06.12.2011
Autor: Vilietha

Aufgabe
Sei k [mm] \subseteq \IQ [/mm] eine Körpererweiterung und A der ganze Abschluss von [mm] \IZ [/mm] in K. Zeigen Sie, dass jedes Primideal p [mm] \neq [/mm] (0) in A ein maximales Ideal ist.

Hallo zusammen,

ich vermute, dass man hier das Going-Down-Theorem verwenden kann. Aber noch kann ich nicht sehen, wie genau.

Ich freue mich über jeden Tipp.

Viele Grüße,
Vilietha

        
Bezug
ganzer Abschluss: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Mi 07.12.2011
Autor: hippias


> Sei k [mm]\subseteq \IQ[/mm] eine Körpererweiterung und A der ganze

Du meinst sicherlich die andere Inklusion

> Abschluss von [mm]\IZ[/mm] in K. Zeigen Sie, dass jedes Primideal p
> [mm]\neq[/mm] (0) in A ein maximales Ideal ist.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich vermute, dass man hier das Going-Down-Theorem verwenden
> kann. Aber noch kann ich nicht sehen, wie genau.
>  
> Ich freue mich über jeden Tipp.
>  
> Viele Grüße,
>  Vilietha

Ich wuerde es direkt ohne Going-Down beweisen:
1. Als erstes gilt [mm] $\IZ\cap P\neq [/mm] 0$ - dies ergibt sich aus der Ganzheit der Elemente in $P$.
2. Ferner ist $L:= [mm] \IZ\cap [/mm] P$ Primideal von [mm] $\IZ$ [/mm] - ergibt sich aus der Tatsache, dass [mm] $\IZ/L$ [/mm] Teilring von $A/P$ ist.
3. In [mm] $\IZ$ [/mm] ist jedes Primideal [mm] $\neq [/mm] 0$ maximal; folglich ist $L$ maximal und [mm] $\IZ/L$ [/mm] sogar Teilkoerper von $A/P$.
4. Nach Voraussetzung ist die Erweiterung algebraisch und man macht sich leicht klar, dass dann Interitaetsbereich auch ein Koerper sein muss,also $P$ maximal.

Wenn Du Going-Down benutzen moechtest, benoetigst Du wohl die Punkte 1., 2. und 3.. Ferner nimm ein maximales $M$ von $A$, das $P$ enthaelt und schneide diese mit [mm] $\IZ$. [/mm]    

Bezug
                
Bezug
ganzer Abschluss: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 Mi 07.12.2011
Autor: Vilietha

Hallo Hippias,

vielen Dank für Deine wertvollen Tipps.
Sie haben mir sehr weitergeholfen! :-)

Viele Grüße,
Vilietha

Bezug
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