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| Aufgabe | Sei $R [mm] \subseteq [/mm] K$ eine ganze Ringerweiterung und $K$ ein Körper.
Unter welchen Bedingungen an $R$ kann man folgern, dass auch $R$ ein Körper ist?
(Hierbei steht "Ring" immer für kommutativen Ring mit $1 [mm] \neq [/mm] 0$) |
moin,
Ich arbeite gerade an einem Seminarvortrag über ganze Ringerweiterungen und dabei ist mir obige Frage untergekommen.
Aus der Tatsache, dass $R$ ein Unterring von $K$ ist kann man folgern, dass $R$ ein Integritätsbereich ist.
Somit kann man $Q := Quot(R)$ bilden und da dies der kleinste Körper ist, der $R$ umfasst, muss $R [mm] \subseteq [/mm] Q [mm] \subseteq [/mm] K$ gelten. (soweit richtig?)
Ist nun $R$ ganz abgeschlossen (in $Q$) so folgt aus der Ganzheit bereits $R=Q$, denn ist $K [mm] \supseteq [/mm] Q$ ganz über $R$ dann ja erst recht $Q$.
Nun bleibt aber leider die Frage: Was ist, wenn $R$ nicht ganz abgeschlossen ist?
Ich weiß bereits, dass alle faktoriellen Ringe ganz abgeschlossen sind und da ich leider bisher eher wenig Integritätsbereiche kenne, die nicht faktoriell sind, fällt es mir schwer überhaupt einen nicht ganz abgeschlossenen Ring zu finden, geschweige denn einen der als Gegenbeispiel für obige Aufgabe funktionieren würde.
Also: Gilt die Aussage für alle Integritätsbereiche $R$?
Wenn nein, kennt jemand ein (halbwegs humanes^^) Gegenbeispiel?
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Es gilt allgemein: Sind [mm]A\subset B[/mm] Integritätsbereiche und B ganz über A, so ist A genau dann ein Körper, wenn B ein Körper ist.
Der Beweis kann sofort aus der Definition gefolgert werden. Die für dich interessante Richtung:
Sei B ein Körper, [mm]0\neq a\in A[/mm]. Dann existiert [mm]a^{-1}\in B[/mm]. Da B ganz über A existiert ein Polynom mit Koeffizienten in A mit:
[mm]a^{-n}+k_{1}a^{-m+1}+...+k_{n}=0 [/mm]
Umstellen und multiplizieren mit [mm]a^{m-1}[/mm] liefert
[mm]a^{-1}=-(k_{1}+...+k_{n}a^{m-1}) \in A[/mm].
Die andere Richtung ist auch nicht schwerer.
Viele Grüße,
Berieux
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Hmm, da sucht man stundenlang und dann ist es so einfach... xD
Danke dir. ;)
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