g irreduzibel... < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Caroline |
Hallo,
komme mal wieder nicht weiter :-(
K Körper f [mm] \in [/mm] K[X] irreduzibles Polynom ungeraden Grades und [mm] \alpha [/mm] Nullstelle von f in seinem Zerfällungskörper. Sei g [mm] \in [/mm] K[X] irreduzibel vom Grad 2. Zeigen Sie, dass g auch über [mm] K(\alpha) [/mm] irreduzibel ist.
Ich habe mir gedacht, dass man in [mm] K(\alpha) [/mm] nun ja f = [mm] (X-\alpha) [/mm] * h mit deg h gerade und > 1
Wenn ich nun annehme, dass g reduzibel wäre, dann muss g = [mm] (X-\alpha)*u [/mm] mit deg u = 1 sein, also ist [mm] \alpha [/mm] auch auf jeden Fall Nullstelle von g, wieso kann dies nicht sein, ich finde keinen Widerspruch? Kann ein g das vorher in K[X] irreduzibel war nicht auch hier die Nullstelle [mm] \alpha [/mm] besitzen? Ich weiß nicht wie ich nun fortfahren kann...
Ich hoffe ihr habt einen Tipp für mich :-(
Viele liebe Grüße
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 04.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Caro
> K Körper f [mm]\in[/mm] K[X] irreduzibles Polynom ungeraden Grades
> und [mm]\alpha[/mm] Nullstelle von f in seinem Zerfällungskörper.
> Sei g [mm]\in[/mm] K[X] irreduzibel vom Grad 2. Zeigen Sie, dass g
> auch über [mm]K(\alpha)[/mm] irreduzibel ist.
>
> Ich habe mir gedacht, dass man in [mm]K(\alpha)[/mm] nun ja f =
> [mm](X-\alpha)[/mm] * h mit deg h gerade und > 1
>
> Wenn ich nun annehme, dass g reduzibel wäre, dann muss g =
> [mm](X-\alpha)*u[/mm] mit deg u = 1 sein, also ist [mm]\alpha[/mm] auch auf
> jeden Fall Nullstelle von g, wieso kann dies nicht sein,
Wieso sollte [mm] $\alpha$ [/mm] Nullstelle von $g$ sein?!? Das kann niemals der Fall sein, da dann $f = g$ (bis auf konstante Faktoren) gelten muesste!
Versuch's doch mal mit dem Gradsatz: sei [mm] $\beta$ [/mm] eine Nullstelle von $g$, und betrachte den Koerperturm [mm] $K(\alpha, \beta) [/mm] / [mm] K(\alpha) [/mm] / K$ und den Koerperturm [mm] $K(\alpha, \beta) [/mm] / [mm] K(\beta) [/mm] / K$. Ueber die Grade von [mm] $K(\alpha) [/mm] / K$ und [mm] $K(\beta) [/mm] / K$ kannst du explizit was sagen. Und ueber die anderen dann per Gradsatz auch etwas, und insgesamt bekommst du damit eine Aussage ueber die irreduziblitaet von $g$ ueber [mm] $K(\alpha)$ [/mm] und von $f$ ueber [mm] $K(\beta)$.
[/mm]
LG Felix
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