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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 So 25.02.2007 | | Autor: | a-l18 |
| Aufgabe | | bestimmen sie den inhalt der fläche, den der graph von f mit [mm] f(x)=\bruch{x^4-1}{x^2} [/mm] zusammen mit der zugehörigen naherungskurve, der x-achse, der y-achse und der geraden mit der gleichung x=k mit k>1 einschließt. existiert ein grenzwert für k gegen unendlich? |
die näherungskurve ist nach meiner rechnung [mm] y=x^2
[/mm]
nun muss ich doch das integral zwischen 1 und k berechnen. also [mm] \integral_{1}^{k}{f(x) dx}. [/mm] f(x) ist dabei [mm] (x^2)-(\bruch{x^4-1}{x^2})
[/mm]
die stammfunktion also: [mm] F(x)=(\bruch{1}{3}x^3)-(\bruch{1}{3}x^3+x^{-1})
[/mm]
dann setzte ich ein und bekome das ergebnis [mm] \bruch{1}{k}+\bruch{2}{3}
[/mm]
das wäre dann also der errechnete flächeninhalt, oder??
um nach einem grenzwert zu prüfen habe ich einfach die funktion mit der näherungskurve gleichgesetzt. hier gibt es aber keinen schnittpunkt und daher keinen grenzwert für unendlich große k, stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 So 25.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo a
> bestimmen sie den inhalt der fläche, den der graph von f
> mit [mm]f(x)=\bruch{x^4-1}{x^2}[/mm] zusammen mit der zugehörigen
> naherungskurve, der x-achse, der y-achse und der geraden
> mit der gleichung x=k mit k>1 einschließt. existiert ein
> grenzwert für k gegen unendlich?
stehen da wirklich x-Achse und y- Achse? und noch Naeherungskurve, alles auf einmal, oder sollen das mehrere Aufgaben sein?
Ich versteh also die Aufgabe nicht!
Wenn es um die Flaeche zw. x-Achse, Graph und Graph von [mm] x^2 [/mm] geht, solltest du erst mal zeichnen>
2. Wenn du [mm] x^2-\bruch{x^4-1}{x^2} [/mm] solltest du erst ausrechnen, dann integrieren. ich versteh nicht, wo dein 2/3 herkommt!
Stammmfkt -1/x ergibt bei k: -1/k bei 1 :-1 also 1-1/k
fuer k gegen [mm] \infty [/mm] also 1
je nach richtiger Aufgabe kommt da noch das stueck zw. 0 und 1 dazu!
> die näherungskurve ist nach meiner rechnung [mm]y=x^2[/mm]
richtig
> nun muss ich doch das integral zwischen 1 und k berechnen.
kommt auf die genauere Aufg. an.
> also [mm]\integral_{1}^{k}{f(x) dx}.[/mm] f(x) ist dabei
> [mm](x^2)-(\bruch{x^4-1}{x^2})[/mm]
> die stammfunktion also:
> [mm]F(x)=(\bruch{1}{3}x^3)-(\bruch{1}{3}x^3+x^{-1})[/mm]
nein , siehe oben VorzeichenFehler
> dann setzte ich ein und bekome das ergebnis
> [mm]\bruch{1}{k}+\bruch{2}{3}[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 25.02.2007 | | Autor: | a-l18 |
die aufgabenstellung steht genau so im buch.
wo habe ich einen vorzeichenfehler gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 25.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo a-l18!
$d(x) \ = \ [mm] x^2-\bruch{x^4-1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] x^2-\left(x^2-\bruch{1}{x^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] x^2-x^2 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] x^{-2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $D(x) \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] x^{-1} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 25.02.2007 | | Autor: | a-l18 |
also wäre das ergebnis für den flächeninhalt dann [mm] -\bruch{1}{k}-1?
[/mm]
ich müsste aber irgendwie noch die x-achse berücksichtigen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 25.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> also wäre das ergebnis für den flächeninhalt dann
> [mm]-\bruch{1}{k}-1?[/mm]
Nein! die obere Grenze ist k die untere 1 damit hast du [mm] 1-\bruch{1}{k} [/mm] ! hab ich das nicht schon mal geschrieben?
Das ist die flaeche zw. Kurve, assymptotischer Kurve, x=1 und x=k
Flaeche zw. Kurve, x-Achse und assymptotischer Kurve, kommt noch die Flaeche zw 0 und 1 unter [mm] x^2 [/mm] dazu.
mit y-Achse ist dann vielleicht gemeint ab x=0.
Hast du das mal skizziert oder geplottet?
Gruss leduart
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Hallo leduart und a-l18,
> > also wäre das ergebnis für den flächeninhalt dann
> > [mm]-\bruch{1}{k}-1?[/mm]
> Nein! die obere Grenze ist k die untere 1 damit hast du
> [mm]1-\bruch{1}{k}[/mm] ! hab ich das nicht schon mal geschrieben?
> Das ist die flaeche zw. Kurve, assymptotischer Kurve, x=1
> und x=k
> Flaeche zw. Kurve, x-Achse und assymptotischer Kurve,
> kommt noch die Flaeche zw 0 und 1 unter [mm]x^2[/mm] dazu.
> mit y-Achse ist dann vielleicht gemeint ab x=0.
> Hast du das mal skizziert oder geplottet?
> Gruss leduart
Eine Zeichnung sagt mehr als tausend Worte: 
[Dateianhang nicht öffentlich]
offensichtlich sollst du von 0 bis k>1 die Fläche bestimmen:
[mm] \integral_{0}^{k}{x^2-\frac{x^4-1}{x^2}\ dx}
[/mm]
dazu solltest du zunächst mal den Term hinter dem Integral vereinfachen zu: [mm] \frac{1}{x^2}, [/mm] das läßt sich viel leichter integrieren!
Wenn du das geschafft hast, sollst du den Grenzwert bilden:
[mm] \limes_{k\to\infty}{ \integral_{0}^{k}{\frac{1}{x^2}\ dx}}
[/mm]
offensichtlich ergibt sich beim Einsetzen x=0 ein Problem, weil dann nix Gescheites raus kommt.
Daür hast du aber die x-Achse als Begrenzung angegeben, so dass man besser rechnet:
[mm] \limes_{k\to\infty}(\integral_{0}^{1}{x^2\ dx}+\integral_{1}^{k}{\frac{1}{x^2}\ dx})
[/mm]
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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