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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 So 14.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
| Aufgabe | gegeben ist die funktionsschar [mm] fr(x)=\wurzel{r^2-x^2} [/mm] r>0
bestimme r so, dass der graph , die gerade [mm] y=-\bruch{3}{4}x+\bruch{75}{8} [/mm] berührt. Bestimem auch die berührpunkte |
Hallo,
hab bei der genannten aufgabe nicht wirklich ne ahnugn wie ich sie lösen soll.
Mir ist nur in den kopf gekommen eine differenzfunktion zu bilden und dei dann gleich 0 zu setzten um dann r irgendwie rauszubekommen.
Man könnte auch die erste Ableitung =-(3/4) setzten udn gucken welches k das erfüllt das problem ist ja, dass ich nicht den x wert habe, an dem die steigung -(3/4) sein soll. Also wie kann ich das ausrechnen .
Die erste ableitung ist [mm] \bruch{-x}{\wurzel{(r^2-x^2)}}
[/mm]
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Dein Ansatz war schon richtig mit den Ableitungen. Wenn sich zwei Graphen berühren sollen, muss ihre Steigung an dem Punkt identisch sein. Also musst du die beiden Ableitungen der Funktionen gleichsetzen. Notfalls bekommst du halt eine Lösung, die noch r enthält, dann ist es eben eine allgemeine Fragestellung. Kann aber auch passieren, dass der Berührpunkt unabhängig von r ist, dann berühren alle Funktionen der Schar [mm] f_r [/mm] die Gerade in dem berechneten Punkt ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 14.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
die 2 kannst du ja kürzen dann kommt meien ableitung raus
[mm] \bruch{-3}{4}= \bruch{-x}{\wurzel{r^2-x^2}}
[/mm]
dann komtm aber raus:
[mm] x=\bruch{3r}{5}
[/mm]
es ist aj aber nahc einer eindeutigen lösung gesucht...also wa shab ich falsch gemacht?
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Natürlich, du hast recht, hatte das - übersehen, entschuldige
r hat übrigens zwei Lösungen + und - 3/5*r
Ansonsten zu deiner Frage, es ist nach keiner eindeutigen Lösung gefragt, sondern nach einem Wert für r, der die Gleichung erfüllt
Wie du selbst schon gesagt hast, ist es logisch, dass es nicht nur eine Lösung geben kann, du sollst nur eine Lösung für r angeben. Also behalte r als Parameter, die Stelle hast du schon, jetzt noch einsetzen und du hast deine Berührpunkte. Mehr geht hier wohl leider nicht.
Übrigens sehe ich gerade, dass sie zwar die selbe Steigung haben, sich aber deswegen noch nicht berühren müssen, also ist der Berührungspunkt noch eingeschränkt!
Aber ich kann da gerade rechnerisch keinen Ansatz finden
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Hallo noobo2,
> hallo,
> die 2 kannst du ja kürzen dann kommt meien ableitung raus
>
> [mm]\bruch{-3}{4}= \bruch{-x}{\wurzel{r^2-x^2}}[/mm]
> dann komtm
> aber raus:
>
> [mm]x=\bruch{3r}{5}[/mm]
>
> es ist aj aber nahc einer eindeutigen lösung gesucht...also
> wa shab ich falsch gemacht?
Gar nichts.
Du hast noch eine Bedingung zu berücksichtigen:
[mm]y=-\bruch{3}{4}*x+\bruch{75}{8}[/mm]
Dies soll gleich sein mit
[mm]y = f_{r}'(x_p)\cdot{}(x-x_p) +f_{r}(x_p) [/mm]
,wobei [mm]x_{p}[/mm] der Berührpunkt ist.
(Quelle: Tangente )
Demnach gibt es 2 Bedingungen:
[mm]f_{r}'\left(x_{p}\right)=-\briuch{3}{4}[/mm]
[mm] f_{r}\left(x_{p}\right)-x_{p}*f_{r}'\left(x_{p}\right)=\bruch{75}{8}[/mm]
Da Du schon die erste Bedingung gelöst hast,
setze dann in die zweite Bedingung für [mm]x_{p}=\bruch{3}{5}r[/mm] ein
und Du erhältst eine Gleichung für den Radius r,
woraus sich r bestimmen läßt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 So 14.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Ja das wollte ich eben bei mir noch anfügen seufz du warst schneller, hatte ja gesagt, dass die Gleichheit der Steigung allein nicht reicht, dann wären es nur parallele Tangenten, aber dann bin ich noch auf die Bedingung gekommen, beide Funktionen gleichzusetzen, dann erhält man für [mm] r=\pm\bruch{15}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 14.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
kannst du kurz erklären wie dua uf dei zweite bedingugn komtm konnte da nicht ganz folgen
kann es sein, dass du die lineare funktionsgleichugn nach n umgestellt hast und einfach den y-Wert von dem x-wert, der aus bedingugn 1 hervorging eingesetzt hast zusammen mti dme x wert und n auch eingesetzt hast udn somti am ende für r einen wert rausbekommst?
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Hallo, wenn sich [mm] f_r(x)=\wurzel{r^{2}-x^{2}} [/mm] und [mm] y=-\bruch{3}{4}x+\bruch{75}{8} [/mm] berühren, so ist an der entsprechenden Stelle der Anstieg gleich, über 1. Ableitung, und sie haben einen gemeinsamen Punkt, also gleichsetzen
[mm] \wurzel{r^{2}-x^{2}}=-\bruch{3}{4}x+\bruch{75}{8}
[/mm]
über die 1. Ableitung hast du schon [mm] x=\bruch{3}{5}r
[/mm]
[mm] \wurzel{r^{2}-(\bruch{3}{5}r)^{2}}=-\bruch{3}{4}*\bruch{3}{5}r+\bruch{75}{8}
[/mm]
somit enthält deine Gleichung nur noch eine Unbekannte, du kannst r bestimmen, r=7,5
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 So 14.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Ich sehe geradem hätte man gar nicht gebraucht, also die Lösung mit 3/5r, da man einfach bei obiger Gleichsetzung die Wurzel betrachten kann, denn der Radikant muss 0 sein für genau eine Lösung, so bin ich auf die 15/2 gekommen.
Also wie man sieht, man kann es sich auch schwer machen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 So 14.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Man kann diese Berechnungen auch umgehen, indem man sich klar macht, dass die Funktion nur die Gleichung eines (oberen) Halbkreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M(0|0) ist. Die Gerade wird dann die Tangente an den Kreis.
Dann musst du nur den Abstand von M und der Geraden bestimmen (z.B. mit einer orthogonalen Gerade) und erhälst dein Radius r damit.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 So 14.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja das stimmt hier schon, aber es muss ja sozusagen auch "allgemein" lösbar sein wenn jetzt die schar kein halbkreis wäre
und zweitens hat die gerade ja auch immer einen anderen abstand von (0/0) deshalb bekomm ich ja auch kein exaktes ergebis raus sondern x nur durch r ausgedrückt was eigentlich ja auch logisch ist
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