funktionen ohne schnittpunkt < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 So 26.11.2006 | | Autor: | noxia |
| Aufgabe | An welcher Stelle unterscheiden sich die Funktionswerte von f1(x) und f2(x) am wenigsten voneinander?
f1(x)=2x-3 ; [mm] f2(x)=x^{2}-4x+7 [/mm] |
Hallo!
Ich lerne gerade für die nächste Matheklausur am Dienstag und verstehe die Lösung dieser Aufgabe nicht.
Unser Lehrer hat f1-f2 gerechnet und dann das ganze durch Umformen in die Scheitelpuktsform gebracht.
Also:
[mm] h(x)=(x^{2}-4x+7)-(2x-3)
[/mm]
[mm] =x^{2}-6x+10
[/mm]
[mm] =x^{2}-6x+( \bruch{6}{2} )^{2}-9+10
[/mm]
[mm] =(x-3)^{2}+1
[/mm]
Danach steht bei mir im Heft nichts mehr. Ist dann (3|2) der Punkt, wo sich die beiden Funktionswerte am wenigsten voneinander unterscheiden? Wenn ja, verstehe ich den Ansatz nicht. Kann mir einer von euch bitte erklären, wieso man das so rechnet?
Dake für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Abend!
Von der Scheitelpunktform hab ich noch nie gehört. Die Aufgabe ist aber trotzdem nicht schwer. Habt ihr schon Differenzieren gelernt. Dann berechnest du nämlich einfach [mm] f_{2}(x) [/mm] - [mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] x^2-6x+10. [/mm] Die Ableitung dieser neuen Fkt. setzt du dann =0. Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 So 26.11.2006 | | Autor: | noxia |
Danke für deine Antwort, Manabago, aber leider haben wir Differenzieren noch nicht gehabt. Kann man die Aufgabe nicht auch auf eine andere Art lösen? Die Scheitelpunktsform gibt den Scheitelpunkt einer Parabel an.
[mm] f(x)=a(x-x_{s})+y_{s}
[/mm]
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Hallo noxia!
> An welcher Stelle unterscheiden sich die Funktionswerte von
> f1(x) und f2(x) am wenigsten voneinander?
> f1(x)=2x-3 ; [mm]f2(x)=x^{2}-4x+7[/mm]
> Hallo!
> Ich lerne gerade für die nächste Matheklausur am Dienstag
> und verstehe die Lösung dieser Aufgabe nicht.
> Unser Lehrer hat f1-f2 gerechnet und dann das ganze durch
> Umformen in die Scheitelpuktsform gebracht.
> Also:
> [mm]h(x)=(x^{2}-4x+7)-(2x-3)[/mm]
In diesem Falle hat dein Lehrer nicht [mm] f_{1}-f_{2} [/mm] sondern [mm] f_{2}-f_{1} [/mm] gerechnet. 
> [mm]=x^{2}-6x+10[/mm]
> [mm]=x^{2}-6x+( \bruch{6}{2} )^{2}-9+10[/mm]
>
> [mm]=(x-3)^{2}+1[/mm]
>
> Danach steht bei mir im Heft nichts mehr. Ist dann (3|2)
Wie kommst du denn auf den Punkt (3 | 2) ???
> der Punkt, wo sich die beiden Funktionswerte am wenigsten
> voneinander unterscheiden? Wenn ja, verstehe ich den Ansatz
> nicht. Kann mir einer von euch bitte erklären, wieso man
> das so rechnet?
> Dake für eure Hilfe!
Indem dein Lehrer einfach die Funktionen voneinander subtrahiert hat, hat er sich damit eine Funktion erstellt, mit welcher er den Abstand der beiden gegebenen Funktionen ermitteln kann, denn er macht nichts anderes als die y-Werte beider Funktionen voneinander abzuziehen. Die entstandene Funktion h(x) gibt also für verschiedene x-Werte jeweils den Abstand der Funktionen f1(x) und f2(x) voneinander an. Wenn du also bspw. für x=1 in h(x) einsetzt und das berechnest erhälst du für h(1)=5. Das bedeutet, daß an der Stelle x=1 die Funktionen einen Abstand von 5 Längeneinheiten haben. Logischer Weise haben die Funktionen f1(x) und f2(x) dort den minimalsten Abstand wo Funktion h(x) ihren tiefsten Punkt (also den Scheitelpunktt, da quadratische Funktion) hat. Diesen Punkt S(3 | 1) hat dein Lehrer mit quadratischer Ergänzung erhalten, wobei nur der x-Wert des Scheitelpunktes gefragt ist, da es ja laut Aufgabenstellung um eine Stelle und nicht um nen Punkt geht.
Im Ergebnis kann als festgehalten werden, daß die Funktionen an der Stelle x=3 den kleinsten Abstand voneinander haben. (Diesen könnte man nun noch berechnen indem man h(3) ermittelt, was logischer Weise zu h(3)=1 führen sollte - somit haben die Funktionen an der Stelle x=3 den minimalsten Abstand von 1 Längeneinheit vomeinander).
Wenn das Verständnis noch nicht ganz da ist, dann zeichne den ganzen Spass dochmal in ein Koordinatensystem ein und überprüfe das Ganze. (Mach ich zur Sicherheit auch immer). Ich hab dir mal ne Skizze dazu angefügt. Vielleicht wirds dann bissel klarer.
Wenn trotzdem noch Fragen sind: Immer her damit!!! 
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm]\red{rot}=h(x)[/mm]
[mm]\blue{blau}=f_{1}(x)[/mm]
[mm]\green{gruen}=f_{2}(x)[/mm]
Gruß,
Tommy
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:58 Mo 27.11.2006 | | Autor: | noxia |
Hallo Tommy!
Danke für die super ausführliche Erklärung. Sogar mit Skizze! So langsam muss man mir ne Aufgabe erklären, damit ich sie verstehe. :D
Ich meinte übrigens Punkt (3|1), hatte mich nur verschrieben, aber das ist ja auch falsch, denn man sucht ja keinen Punkt, sondern eine Stelle, weil die Funktionen sich nicht schneiden (Siehst du, ich hab es verstanden! )
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