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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mi 22.04.2009 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | jede auf [a,b] stetig diffbare funktion lässt sich als differenz zweier monotoner funktionen schreiben.
ist die aussage richtig?
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hallo,
ich hab zuerst gedacht die aussage wäre falsch und mir ein gegenbeispiel konstruiert,doch als ich das aufschreiben wollte,hab ich gemerkt dass mein beispiel doch nicht anwendbar ist. jetzt bin ich irgendwie grad etwas irritiert, ob sie nicht vielleicht doch stimmt,ich kanns aber nicht beweisen.
jemand ne idee?
danke schon mal
briddi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mi 22.04.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo briddi,
jedenfalls kannst Du aufhören, ein Gegenbeispiel zu suchen. Die Aussage stimmt. Du musst sie nur noch beweisen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:31 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo briddi
> jede auf [a,b] stetig diffbare funktion lässt sich als
> differenz zweier monotoner funktionen schreiben.
> ist die aussage richtig?
Um dir einen konkreten Beweisansatz zu geben:
Da die Funktion (nennen wir sie $f$) stetig diffbar ist, gilt $f(x) = f(a) + [mm] \int_a^x [/mm] f'(t) dt$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$.
Monoton steigend waere sie, wenn $f'(x) [mm] \ge [/mm] 0$ fuer alle $x$ waer. Und monoton fallend wenn $f'(x) [mm] \le [/mm] 0$ fuer alle $x$ waer.
Also versuch die Funktion $f'(x)$ doch mal als Differenz zweier stetiger Funktion [mm] $g_1, g_2 [/mm] : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] zu schreiben mit [mm] $g_1(x) \ge [/mm] 0$ und [mm] $g_2(x) \ge [/mm] 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$, also $f'(x) = [mm] g_1(x) [/mm] - [mm] g_2(x)$. [/mm] Dann sind [mm] $f_i(x) [/mm] := [mm] \int_0^x g_i(t) [/mm] dt$, $i = 1, 2$ monoton steigend und es gilt... was gilt wohl?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Allgemeiner hat man:
Ist $f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] $ eine Funktion, so gilt:
f ist auf [a,b] von beschränkter Variation [mm] \gdw [/mm] f lässt sich als Differenz zweier monotoner Funktionen darstellen.
Da jede differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung von beschränkter Variation ist, hat natürlich jede stetig differenzierbare Funktion diese Eigenschaft.
FRED
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