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HALLO und guten abend an alle....
ich bin mir bei der prüfung von stetigkeit bei funktionen leider nicht so sicher...
aber insbesondere bei den partiellen und der signum funktion....
1) ich soll zeigen, dass die funkzion f(x):= (2+x) * sign(x) an der stelle 0 unstetig ist
2) und bei sign(2x²-x), dass sie an den stellen 0 und 0.5 unstetig isi, leider weiss ich hier nicht, wie ich voran gehen soll.......
3) partiell..
[mm] f(x)=\begin{cases} 2x, & \mbox{für } \mbox{ x>0} \\ -x+1/6, & \mbox{für } \mbox{ x< gleich 0} \end{cases}
[/mm]
, hier soll ich gucken, ob die funktion an den stellen 1/3 und 0 stetig ist....
wie wäre das zu machen?????,
muss ich dann nur einsetzen oder wasn anderes...
es wäre wirklich sehr lieb, wenn mir jemand den gefallen machen würde, mir es zu erklären
und schon danke im voraus...
lg sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Di 19.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
1.) sgn(x) ist nichts weiter [mm] als:sgn(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ >0}\end{cases}
[/mm]
Das heißt also:
f(x)=(2+x)*sgn(x)
Das heißt, dass die Funktion für x<0 so aussehen müsste:
f(x)=(2+x)*(-1)=-x-2, x<0 (weil sgn(x) für x<0 nichts weiter als -1 ist)
Für x=0 ist die Funktion f(x)=(2+x)*0=0
Und für x>0 dann:
f(x)=(2+x)*1=x+2
So, nun schauen wir mal was passiert, wenn x gegen 0 geht. Nähren wir uns der 0 mal von der linken, negativen Seite. Dort wird die Funktion ja durch f(x)=-x-2 beschrieben. Geht x gegen 0 geht dr Funktionswert also gegen -2.
Aber der Funktionswert für x=0 ist ja 0! Deshalb hast du an der Stelle eine Sprungstelle in der Funktion. Du könntest auch noch sagen, was passiert, wenn die Funktion sich der 0 von rechts nähert, da die Funktion ja dort durch f(x)=x+2 beschrieben wird. Geht x hier gegen 0 geht der Funktionswert sogar gegen 2.
Hoffe das war soweit klar :)
2.) Solltest du genauso machen. sgn(x) kann ja nur 1, 0 oder -1 sein.
3.) Ok, fangen wir mal mit [mm] x_{0}=\bruch{1}{3} [/mm] an: Dazu musst du ja nur die Teilfunktion y=2x betrachten, da diese ja für x>0 zuständig ist. Und da das ja nur eine lineare Funktion ist wird sie an der STelle wohl stetig sein.
Nun zu [mm] x_{0}=0. [/mm] Du musst schauen gegen welchen Wert y=2x für x->0 geht und gegen welchen Wert [mm] y=-x+\bruch{1}{6} [/mm] für x->0 geht.
Sind diese beiden Werte gleich, so wäre alles ok und die ganze Funktion wäre stetig. Wenn nicht, dann nicht ;) wie bei 1.)
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hallo, erstmals danke für die turbo schnelle antwort...
habe noch ne frage zu 2)
also, ich habe es versucht und habe folgendes raus...:
für -1 sign(3)
für 0 sign (0)
für 1 sign (1)
aber wie beweise ich jetzt, dass es an den stellen 0.5 und 0 unstetig ist.
ok, ich müsste x gegen 0 laufen lassen, doch ich finde auch kein x hier vor???
könntest du mir bitte nocheinmal helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Di 19.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem :)
Also: Die Funktion f(x)=sgn(2x²-x) Kann ja nur 3 Werte annehmen: -1, 0 und 1. Egal was bei sgn in der Klammer steht, sgn kann nur -1, 0 und 1 annehmen!
Wenn das in der Klammer <0 ist wird f(x)=sgn(2x²-x)=-1.
Wenn das in der Klammer =0 ist wird f(x)=sgn(2x²-x)=0.
Wenn das in der Klammer >0 ist wird f(x)=sgn(2x²-x)=1.
So, nun nimmst du dir mal eine Stelle zum untersuchen.
[mm] x_{0}=0,5
[/mm]
Das setzt du mal in f(x) ein: f(0,5)=sgn(2*0,5²-0,5)
f(0,5)=sgn(0)=0. Aber wenn du andere Zahlen als 0,5 einsetzt, z.B. 0,6 oder 0,4, dann würde nicht 0 in der Klammer rauskommen! Sonder Zahlen, die größer oder kleiner als 0 sind.
Beispiel: Ich setze mal 0,4 ein.
f(0,4)=sgn(2*0,4²-0,4)=sgn(-0,08)
Und da sgn(x) für negative Zahlen einfach nur -1 ist, kannst du also schreiben:
f(0,4)=-1
Wenn du das gleiche für 0,6 machst erhälst du dadurch f(x)=1 (da in der Klammer von sgn was positives rauskommt und sgn(x) für postitive Zahlen einfach nur 1 ist).
Wenn du dir die Funktion jetzt vorstellst: Die Funktion nähert sich langsam der Stelle [mm] x_{0}=0,5 [/mm] von links. Dabei ist die Funktion immer -1. Bei x=0,5 wird die Funktion plötzlich 0, und wenn sie an der 0,5 vorbei ist wird die Funktion plötzlich 1.
Also ist die Funktion an der Stelle nicht stetig!
Ich hoffe, dass man das einigermaßen nachvollziehen konnte. Für die andere Stelle kannst du es ja mal versuchen!
Du musst halt immer nur dran denken, dass sgn(x) -1, 0 oder 1 sein kann. Mehr nicht. Es kommt immer drauf an, was in der Klammer vom sgn(x) steht. Steht dort etwas positives ist sgn(x)=1, steht dort etwas negatives ist sgn(x)=-1 und steht 0 in der Klammer ist sgn(x)=0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Di 19.09.2006 | | Autor: | sandramil |
DANKESCHÖN......
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Di 19.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Gern geschehen! Aber sag ruhig bescheid, falls noch was unklar ist.
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ok...
jetzt möchte ich mal eine aufgabe selber versuchen zu lösen, und bitte dich, es mal anzusehen.... Danke im voraus:)
[mm] f(x)=\begin{cases} 3x+1, & \mbox{für } \mbox{ x > gleich1} \\ 4x-1, & \mbox{für } \mbox{ x<1} \end{cases}
[/mm]
in den stellen 0und 1
zuerst die 1...
ich setze 1 in die fuktion ein; sodass ich oben 4 und unten 3 bekomme, also ist die funktion nicht stetiog, weil die werte nicht übereinstimmen....
dementsprechen auch nicht differenzierbar..
????
dann für 0:
oben +1 und unten -1...
also auch nicht stetig.....??
ist denn jetzt meine vorgehensweise einigermaßen richtig????
nochmal vielen vielen dank...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Di 19.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Du hast da etwas durcheinander gebracht! Von der Stetigkeit kannst du nicht auf die Differenzierbarkeit schließen.
Aber du hast recht, bei 1 ist sie nicht stetig. Du musstest 1 in beiden einsetzen, weil 1 ja die Grenze zwischen beiden Teilfunktionen ist! Das ist der einzige Grund.
Aber bei der 0 ist das anders: Für die 0 trifft nur die Teilfunktion mit x<0 zu! Also y=4x-1. und da das eine lineare Funktion ist, ist sie bei 0 auch stetig.
Aber hier musst du die 0 nicht in beide Funktionen einsetzen, da ja nur x<1 für 0 zutrifft.
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