für x e R stetig ergänzbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:15 Do 17.01.2008 | | Autor: | RainerUnsinn |
| Aufgabe | Für welche [mm] x\in\IR [/mm] sind folgende Funktionen stetig bzw. stetig ergänzbar?
a) [mm] f(x)=\bruch{x}{1-x^2}
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{x}{1+x^2}
[/mm]
c) [mm] f(x)=\exp(-|x|)
[/mm]
d) [mm] f(x)=\exp(-|x|)*sgn(x)
[/mm]
e) [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{2|x|-x}{x}, & \mbox{falls } x\not=0 \mbox{ } \\ -3, & \mbox{falls } x=0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
hi
ich hab irgendwie keine ahnung wie ich das angehen soll?
ich weiß die definition von stetig, aber wie wende ich die hier an?
laut meinem skript bedeutet stetig, wenn [mm] f:D\to\IR [/mm] eine funktion und [mm] a\in [/mm] D. Die Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls
[mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) [/mm] ist.
könnt ihr mir ein ansatz geben, bzw. ein paar tipps?
grüße
da das mit der formel nicht ganz geklappt hat hab ich hier ein bild der aufgabe:
http://img220.imageshack.us/img220/2780/aufgabeeb6.jpg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Rainer!
Bei Funktionen mit Betragsstrichen ist es fast immer ratsam, diese Betragsstriche gemäß Definition aufzulösen:
[mm] $$|x|:=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Damit ergibt sich für Deine Funktion:
[mm] $$f(x)=\exp(-|x|):=\begin{cases} \exp[-(-x)] \ = \ \exp(x), & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ \exp[-(+x)] \ = \ \exp(-x), & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Nun musst Du die beiden Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ untersuchen und überprüfen, ob diese übereinstimmen.
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\exp(-|x|) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\exp(x) [/mm] \ = \ [mm] \exp(0) [/mm] \ = \ 1$$
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\exp(-|x|) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\exp(-x) [/mm] \ = \ ...$$
Wenn diese beiden Werte nun übereinstimmen, ist die Funktion an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ stetig.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) [mm]f(x)=\bruch{x}{1-x^2}[/mm]
manchmal kann es hilfreich sein, sich den Graphen der Funktion anzugucken. Wenn man dies hier tut, so sollte man zu der Vermutung gelangen:
Diese Funktion ist stetig für alle [mm] $x_0 \not= \pm [/mm] 1$. An den Stellen [mm] $x_0^{(1,2)}=\pm [/mm] 1$ haben wir ein Problem, da dort in der obigen Funktionsgleichung dann der Term [mm] $\pm \frac{1}{0}$ [/mm] stünde. Es bleibt noch die Frage, ob es [mm] $r_{1,2} \in \IR$ [/mm] so gibt, dass mit der Definition [mm] $f(-1):=r_1$ [/mm] bzw. [mm] $f(1):=r_2$ [/mm] dann die obige an [mm] $x_0^{(1)}=-1$ [/mm] bzw. [mm] $x_0^{(2)}=1$ [/mm] stetig wird (es gibt die Möglichkeiten: an keiner dieser beiden Stellen ist $f$ stetig fortsetzbar, an genau einer ist $f$ stetig fortsetzbar oder $f$ ist an allen beiden stetig fortsetzbar). Wir werden zeigen, dass $f$ an keiner dieser Stellen stetig fortsetzbar sein kann.
Nun zu dem Beweis zu unserer Vermutung:
Sei zunächst [mm] $x_0\not=\pm [/mm] 1$ und wir zeigen:
$f$ ist stetig an [mm] $x_0$.
[/mm]
Denn:
Die Funktion $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] ist als Produkt der stetigen Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] x$ mit sich selbst stetig auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Ferner ist die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] 1-x$ stetig auf [mm] $\IR$. [/mm] Setzen wir $g(x):=1-x$ und [mm] $h(x):=x^2$ [/mm] für $x [mm] \in \IR$, [/mm] so sind $g$ und $h$ stetige Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] und daher ist [mm] $g(h(x))=1-x^2$ [/mm] eine auf [mm] $\IR$ [/mm] stetige Funktion. Die Funktion [mm] g(h(x))=1-x^2 [/mm] ist daher insbesondere stetig auf [mm] $\IR \backslash\{\pm 1\}$ [/mm] und hat genau die Nullstellen [mm] $x_0^{(1,2)}=\pm [/mm] 1$, ist also auf [mm] $\IR\backslash\{\pm 1\}$ [/mm] nullstellenfrei.
Die Funktion $k: [mm] \IR \backslash\{0\} \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto k(x):=\frac{1}{x}$ [/mm] ist stetig.
Als Verknüpfung stetiger Funktion ist daher $k [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h): [mm] \IR \backslash\{\pm 1\} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $k(g(h(x)))=\frac{1}{g(h(x))}=\frac{1}{1-h(x)}=\frac{1}{1-x^2}$ [/mm] $(x [mm] \in \IR \backslash\{\pm 1\})$ [/mm] stetig.
Also ist $f(x)=x*k(g(h(x)))$ $(x [mm] \in \IR\backslash\{\pm 1\})$ [/mm] als Produkt der auf [mm] $\IR \backslash\{\pm 1\}$ [/mm] stetigen Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] x$ (diese ist ja sogar stetig auf [mm] $\IR$) [/mm] und der auf [mm] $\IR \backslash\{\pm 1\}$ [/mm] stetigen Funktion $k [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)$ dann stetig auf [mm] $\IR \backslash\{\pm 1\}$.
[/mm]
(Man kann es mit entsprechenden Sätzen auch so (analog) begründen:
Sei stets [mm] $x_0 \not=\pm [/mm] 1$ und gelte $x [mm] \to x_0$ [/mm] ($x [mm] \not=\pm [/mm] 1$).
Dann:
$x [mm] \to x_0 \Rightarrow x^2=x*x \to x_0*x_0=x_0^2$, [/mm] und damit:
$x [mm] \to x_0 \Rightarrow 1-x^2 \to 1-x_0^2$
[/mm]
Weiterhin gilt für $y [mm] \not=0$, $y_0 \not=0$ [/mm] und $y [mm] \to y_0$, [/mm] dass [mm] $\frac{1}{y} \to \frac{1}{y_0}$, [/mm] also hier:
$x [mm] \to x_0 \Rightarrow f(x)=\frac{x}{1-x^2}=x*\frac{1}{1-x^2} \to x_0*\frac{1}{1-x_0^2}=\frac{x_0}{1-x_0^2}=f(x_0)$ [/mm] (beachte: [mm] $1-x^2 \not=0$, $1-x_0^2 \not=0$ [/mm] für [mm] $x,x_0 \not=\pm [/mm] 1$).)
Sei nun [mm] $x_0=1$ [/mm] und sei $x [mm] \in \IR \backslash \{\pm 1\}$ [/mm] mit $x [mm] \to [/mm] 1$.
Angenommen, es gäbe ein [mm] $r_2 \in \IR$ [/mm] so, dass $f$ an der Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] mit der Definition [mm] $f(1):=r_2$ [/mm] stetig fortgesetzt wäre. Dann müsste insbesondere für alle $x > 1$ mit $x [mm] \to [/mm] 1$ gelten, dass auch $f(x) [mm] \to r_2$. [/mm]
Es ist aber [mm] $f(x)=\frac{x}{1-x^2} \to -\infty \notin \IR$ [/mm] bei $x > 1$ und $x [mm] \to [/mm] 1$
(Denn:
Bei dem Term [mm] $\frac{x}{1-x^2}$ [/mm] strebt der Zähler für $x > 1$ und $x [mm] \to [/mm] 1$ dann gegen $1$, der Nenner ist stets $< 0$ und strebt gegen $0$.)
Achtung: Laut der genauen Aufgabenstellung bzw. Eurer Definition ist die Aufgabe hier schon zu Ende, da ihr dort nur Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] betrachtet.
Analog geht man im Falle [mm] $x_0=-1$ [/mm] vor.
Zusatz:
Nun kann man sich auch die Frage stellen, ob man $f$ als Funktion [mm] $\IR \to \IR \cup\{\pm \infty\}$ [/mm] (mit [mm] $\pm \infty \notin \IR$, $+\infty \not=-\infty$) [/mm] gegebenenfalls an der Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] stetig fortsetzen kann:
Auch das ist nicht möglich. Denn wie eben gesehen, ist für jedes [mm] $r_2 \in \IR$ [/mm] mit der Definition [mm] $f(1):=r_2$ [/mm] die Funktion an der Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] dann unstetig. Also bleiben nur noch die Möglichkeiten, [mm] $f(1):=\infty$ [/mm] oder [mm] $f(1):=-\infty$ [/mm] zu betrachten:
Wie eben gesehen, gilt:
$x > 1$ und $x [mm] \to [/mm] 1$ [mm] $\Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \to -\infty$ [/mm] .
Analog sieht man:
$x < 1$ und $x [mm] \to [/mm] 1$ [mm] $\Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \to +\infty$ [/mm]
Damit ist $f$ an der Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] weder als Funktion [mm] $\IR \to \IR$, [/mm] noch als Funktion [mm] $\IR \to \IR \cup\{\pm \infty\}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=1$ [/mm] stetig fortsetzbar.
Analog betrachtet man den Fall [mm] $x_0=-1$.
[/mm]
P.S.:
Das ganze habe ich jetzt mal sehr ausführlich, also viel ausführlicher als notwendig, durchgekaut. Ich hoffe, Du erkennst das Wesentliche und kannst Dich bei den anderen Aufgaben ein wenig daran orientieren.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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