für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 2 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 00:31 Sa 21.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Von der Zahl [mm]\Phi[/mm] sei bekannt, dass sie der Gleichung [mm]\Phi^2 = \Phi + 1[/mm] genügt. ([mm]\Phi[/mm] heißt dann die Zahl des Goldenen Schnittes.)
Wie groß ist dann [mm]\Phi^5[/mm]?
a) [mm]3\Phi + 1[/mm]
b) [mm]4\Phi + 2[/mm]
c) [mm]5\Phi + 3[/mm]
d) [mm]6\Phi + 4[/mm]
e) [mm]7\Phi + 5[/mm]
Welches ist das richtige Ergebnis?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Do 26.02.2004 | | Autor: | Larissa |
Ich habe nicht so gnz verstanden, was die "Zahl des goldenen Schnittes" sein soll. Deshalb habe ich es auch nachgeschlagen, nur stand da etwas ganz anderes (oder aber ich habe es falsch aufgefasst, was wohl eher der Fall ist  ). Ist in dem Fall also nun gemeint, dass das Quadrat der Zahl gleich der Summer der Zahl mit 1 ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Do 26.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Larissa,
normalerweise wird die "Zahl der goldenen Schnittes" zunächst anders definiert, nicht direkt über die Gleichung [mm]\Phi^2 = \Phi+1[/mm].
Der Goldene Schnitt bezeichnet mathematisch gesehen zunächst einmal ein Teilungsverhältnis. Dabei wird die Gesamtstrecke so in zwei Teilstrecken unterteilt, dass sich die Gesamtstrecke zur größeren Teilstrecke verhält wie die größere Teilstrecke zur kleineren Teilstrecke. Man nennt dann dieses gemeinsame Verhältnis die Zahl des goldenen Schnittes und bezeichnet es mit [mm]\Phi[/mm]. Wir sagen mal der Einfachheit halber, die größere Teilstrecke habe die Länge 1.
Dann muss also gelten:
[mm]\Phi = \frac{\Phi}{1} = \frac{1}{\Phi-1}[/mm].
Wenn man das mit [mm]\Phi-1[/mm] durchmultipliziert, kommt man auf
[mm] \Phi^2 - \Phi= 1[/mm],
also auf
[mm]\Phi^2 = \Phi + 1[/mm],
wie in der Aufgabenstellung. Für diese Aufgabe reicht es zu wissen, dass
[mm]\Phi^2 = \Phi + 1[/mm]
gilt, dafür brauchst du die Herleitung nicht (nichtsdetotrotz ist sie interessant).
Nun rechnest du aus:
[mm]\Phi^5 = \Phi^2 * \Phi^2 * \Phi = (\Phi+1) \cdot (\Phi + 1) * \Phi = \ldots[/mm]
Na, jetzt klarer?
Der goldene Schnitt hat eine enorme Bedeutung auch in der Kunst und Musik (die Sache mit der Kunst ist etwas umstritten, da wird auch viel hineininterpretiert). Schau mal hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/art/gskunst.htm
http://marvin.sn.schule.de/~latein/wasgold.htm
Und hier noch etwas zur Geschichte des Goldenen Schnittes:
http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/history/gsgesch.htm
Auch in der Natur kommt der Goldene Schnitt vor:
http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/nature/gsnatur.htm
Versuch es doch jetzt nochmal...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Do 26.02.2004 | | Autor: | Larissa |
Erstmal Danke für die Informationen. Diese Erklärung, aber viel kürzer und schwerer, hatte ich auch gefunden.
Zu der Aufgabe. Ich denke, dass ich jetzt die Lösung gefunden habe. Hoffe ich jedenfalls ! Ich finde nur das Zeichen für den goldenen Schnitt nicht. Ich ersetzte es jetzt einfach mal durch x. Hoffe das macht nichts. Also, das ist mein Weg:
...=(x²+x²)*x=(x+1)*(x+1)*x=2x(x+1)=2(x²+x)=2(x+1+x)=4x+2
Also müsste dann die Lösung b) richtig sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Do 26.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Larissa!
Erst einmal: Das Zitat von Erath ist echt cool. Ich kannte es zwar schon, finde es aber ziemlich witzig.
> ...=(x²+x²)*x=(x+1)*(x+1)*x=2x(x+1)=2(x²+x)=2(x+1+x)=4x+2
Also, ich habe was anderes raus. Wie kommst du auf die [mm]2x[/mm] (oben rot markiert)?
Liebe Grüße
Stefan
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