freie abelsche gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 Mo 17.03.2008 | | Autor: | bene75 |
Guten morgen
Ich kämpfe momentan mit den freien abelschen Gruppen und bin extrem verwirrt:
Habe in einer Zusammenfassung eines Studenten gelesen, dass freie abelsche Gruppen einelementig erzeugt, also zyklisch sind. Für mich ist das nicht so?!
Weiters zeigt selbiger, dass [mm] (\IQ\setminus\{0\},*) [/mm] frei abelsch ist, indem er
eine Primfaktorenzerlegung
[mm] p_{1}^{l_{1}}*\ldots*p_{n}^{l_{n}}=\bruch{p}{q}=1 [/mm] benutzt.
Warum =1?
Wäre toll, wenn mir das jemand klar machen könnte (muss für einige Gruppen wie [mm] (\IQ,+), (\IR,+),... [/mm] zeigen, ob frei abelsch oder nicht)
Grüße
bene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mo 17.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich kämpfe momentan mit den freien abelschen Gruppen und
> bin extrem verwirrt:
>
> Habe in einer Zusammenfassung eines Studenten gelesen, dass
> freie abelsche Gruppen einelementig erzeugt, also zyklisch
> sind. Für mich ist das nicht so?!
das ist auch nicht so. zyklische freie abelsche gruppen sind immer isomorph zu [mm] $\mathbb{Z}$, [/mm] aber es gibt durchaus auch andere freie abelsche gruppen auf $0, 2, 3, ...$ erzeugern oder gar auf unendlich vielen erzeugern, wie du unten siehst.
>
> Weiters zeigt selbiger, dass [mm](\IQ\setminus\{0\},*)[/mm] frei
> abelsch ist, indem er
> eine Primfaktorenzerlegung
> [mm]p_{1}^{l_{1}}*\ldots*p_{n}^{l_{n}}=\bruch{p}{q}=1[/mm]
> benutzt.
> Warum =1?
das weiß ich auch nicht (vielleicht hat er einen homomorphismus definiert und wollte später zeigen, dass der kern trivial ist und hat hier schonmal das neutrale element notiert?). aber [mm] $(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$ [/mm] ist gar nicht frei abelsch, sondern
[m] \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \} \cong \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \oplus \bigoplus_{p \in \mathbb{P}} \mathbb{Z} [/m]
(das vorzeichen muss ja auch irgendwo hin). aber um zu zeigen, dass [mm] $\mathbb{Q}_{> 0} [/mm] = [mm] \{q \in \mathbb{Q} : q > 0\}$ [/mm] frei abelsch ist, ist das genau der richtige weg über die (eindeutige) primfaktorzerlegung von zähler und nenner zu gehen.
grüße
andreas
|
|
|
|
