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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 25.04.2005 | | Autor: | wee |
Hallo, kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Seien f und g Endomorphismen des K-Vektorraumes V. Zeige:
a) Ist v [mm] \in [/mm] V Eigenvektor von f [mm] \circ [/mm] g zum Eigenwert [mm] \lambda \in [/mm] K und ist g(v) [mm] \not= [/mm] 0, so ist g(v) Eigenvektor von g [mm] \circ [/mm] f zum Eigenwert [mm] \lambda
[/mm]
b) Ist V endlich dimensional, so haben f [mm] \circ [/mm] g und g [mm] \circ [/mm] f dieselben Eigenwerte.
Teil a) ist gelöst. Kann man bei b) von f [mm] \circ [/mm] g = g [mm] \circ [/mm] f ausgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mo 25.04.2005 | | Autor: | c.t. |
Hallo wee,
da die aussage symmetrisch in f und g ist, genügt es, eine inklusion zu zeigen, d.h. wir brauchen nur nachzuweisen, dass alle eigenwerte von f [mm] \circ [/mm] g auch eigenwerte von g [mm] \circ [/mm] f sind.
Für g(v) [mm] \not= [/mm] 0 hast du das schon in a) gezeigt. ist g(v) =0, so folgt [mm] \lambda [/mm] =0. in diesen fall zeigt man jetzt, dass ker(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \not= [/mm] 0. wegen v [mm] \in [/mm] ker (g) ist für den fall zu zeigen f [mm] \cap [/mm] ker (g) [mm] \not= [/mm] {0} alles klar. gilt im(f) [mm] \cap [/mm] ker(g) ={0}, so ist f nicht surjektiv, also auch nicht injektiv ( das müsstest du in der vorlesung gehabt haben ) , also ist ker(f) [mm] \not= [/mm] {0} und somit ker(g [mm] \circ [/mm] f) [mm] \not= [/mm] {0}.
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