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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:31 Mo 08.08.2005 | | Autor: | Kylie04 |
Hallo,
Aufgabenstellung:
Fouriertransformation eines Faltungsprodukts:
[mm] $\mathcal{F}(\mathrm{T}_g \ast e^{2i\pi f t})$ [/mm] (1)
Vorraussetzungen:
[mm] $\mathrm{T}_g \in \mathcal{D'}$ [/mm] (d.h eine reguläre Distribution, die mit einer lokal integrierbaren Funktion $g [mm] \in \mathrm{L}^1$ [/mm] korrespondiert).
Das Faltungsprodukt (1) ist dann wie folgt definiert:
$ [mm] \mathcal{F}(\mathrm{T}_g \ast e^{2i\pi f t}) [/mm] = [mm] \int_\mathbb{R} e^{-2i\pi f t } [/mm] dt [mm] \int_\mathbb{R} \mathrm{T}_g [/mm] ( t - [mm] \tau [/mm] ) [mm] e^{2i\pi f t} d\tau [/mm] $
Man m"ochte gern vereinfachen und zusammenfassen, erkennt aber, dass das Integral nicht "uber [mm] $\mathbb{R}^2 [/mm] $integriert werden kann, denn es stellt sich keine Konvergenz bez"uglich der $t$-Achse ein. Nur in der $ [mm] \tau [/mm] $-Richtung konvergiert das Integral, da $ [mm] \mathrm{T}_g [/mm] $ beschr"ankt ist.
Um das Integral ''konvergenzf"ahig '' zu machen, k"onnte man k"unstlich eine Gauß-Funktion einf"uhren, z.B. [mm] $e^{\frac {\varepsilon |t|^2}{2}} [/mm] $. Das Integral w"are dann eine [mm] $\mathrm{L^1} [/mm] $-Funktion in [mm] $\mathbb{R}^2 [/mm] $.
Die Frage stellt sich, an welcher ''Stelle'' eine solche Gauß-Folge eizuf"ugen w"are, etwa
$lim [mm] \varepsilon \rightarrow [/mm] 0 [mm] \int_\mathbb{R} e^{-2i\pi f (t- \tau)} e^{-2i\pi f \tau} e^{\frac {\varepsilon |t|^2}{2}} [/mm] dt [mm] \int_\mathbb{R}\mathrm{T}_g [/mm] (t- [mm] \tau)e^{2i\pi f \tau}d\tau$ [/mm] . (2)
Damit w"are auch der 1. Term des Integrals in [mm] $\mathrm{L^1} [/mm] $ und man k"onnte den Satz v. FUBINI anwenden, was dazu f"uhrt, dass die beiden e-Funktionen verschwinden. Durch Variablentausch $z= t- [mm] \tau [/mm] $ k"onnte man schnell mit der L"osung vorankommen. (I)Aber was geschieht mit der Gaußschen? (II)Was geschieht , wenn man anstatt [mm] $\mathrm{T}_g$ [/mm] eine temperierte Distribution verwendet oder wenn $[g]$ sowohl in [mm] $\mathrm{L^1} [/mm] $ als auch in [mm] $\mathrm{L^2}$ [/mm] ist, wie so h"aufig bei akustischen Signalen endlicher Energie?
Ich hoffe sehr, dass Sie mir die Fragen beantworten k"onnen und dass Sie mir den Weg, der m.E. zu einer singul"aren Distribution $ [mm] \delta [/mm] $ f"uhren muss auf rigorose mathematische Weise aufzeigen k"onnen.
Vielen dank für eure Hilfe..
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Kylie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Mo 08.08.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Kylie,
nichts für ungut, aber ich frage mich ein wenig, was Du uns mit der obigen Abhandlung mitteilen willst. Dein mathematischer background, deine weiteren beiträge hier im forum und der offenbar aus TEX kopierte beitrag lassen mich etwas daran zweifeln, dass du verstehst, was du da gepostet hast.... 
aber vielleicht täusche ich mich natürlich auch total! in diesem fall könntest du uns vielleicht nochmal mit eigenen worten das problem schildern, welches dich bewegt (die fouriertransformation von distributionen ist ohne zweifel ein sehr interessantes gebiet!).
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Di 09.08.2005 | | Autor: | Kylie04 |
Hi matthias,
Natürlich ist dieses problem nicht meine Idee , sondern stammt von meinem Vater (hat übrigens gerade Ferien), dem ich dieses Forum empfohlen habe.
Demnächst wird er sich auch hier anmelden, damit er nicht immer nur unter meinem Nicknamen Fragen stellen muss.
Allerdings ist die Frage jetzt nicht mehr so dringend, da er der Lösung schon eienn Schritt näher gekommen ist. Falls aber jemand doch noch die Fragenbeantworten möchte,würde sich mein vater sehr freuen, um die Ergenisse zu vergleichen.
Er ist allerdings HNO-Arzt und arbeitet über das Thema des Aüßenohrfilters für das Richtungshören.
Viele Grüße
Kylie04
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Di 09.08.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Kylie,
jetzt sehe ich schon etwas klarer....
Ich wußte gar nicht, dass sich HNO-Ärzte so intensiv mit mathematik befassen (müssen). Sollte dein vater dennoch noch fragen zu dem problem haben, würde ich vorschlagen, dass er diese noch einmal etwas kürzer und kompakter formuliert, dann wird mit sicherheit der eine oder andere hilfreiche hinweis gepostet werden.
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Di 09.08.2005 | | Autor: | Kylie04 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vielen Dank für deine freundliche Antwort, mein Vater betreibt Mathe als Hobby, hat jedoch auch schon veröffentlicht. Wir haben bei unserer Frage die Integrationsvariable falsch gegeben. Es muss heißen $df$ oder besser $d\omega$ anstatt $dt $. Auch die Gaußsche lautet dann $e^{\frac{-\varepsilon |\omega|^2} {2} $. Die Hilfsfunktion macht es einfach, den Term
$e^{i \omega t}$ aus dem zweiten Integral herauszuziehen und letzteres dann einer normalen FT zu unterziehen. Man erh"alt schließlich $\int_{\mathbb{R}} e^{\frac{-\varepsilon |\omega|^2} {2} }\mathrm{T}_f (\omega ) d\omega$.
Für lim $\varepsilon \rightarrow 0$ erh"alt man, wenn man zusätzlich den Lebesgueschen Konvergenzsatz anwendet punktweise $\int _{\mathbb{R}}\mathrm{T}_f (\omega) e^{\frac{-\varepsilon |\omega|^2} {2}} d\omega = \mathrm{T}_f (\omega) \delta(\omega)$. FUBINI ist offenbar nicht erforderlich.
Viele Grüße
Kylie
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