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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Di 09.12.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Sei [mm] $f=\sum_{\nu\in\IN^n} a_{\nu} \cdot z^{\nu}\in \IC[[x_1,...,x_n]]$ [/mm] eine formale Potenzreihe und [mm] $b\in\IC^n$. [/mm] Zeige
(a) $f$ konvergiert in $b [mm] ~\Rightarrow~ \sum_{n=0}^{\infty} a_{\varphi(n)}b^{\varphi(n)}$ [/mm] konvergiert für jede Bijektion [mm] $\varphi:\IN\rightarrow \IN^n$.
[/mm]
(b) Konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty} a_{\varphi(n)}b^{\varphi(n)}$ [/mm] absolut für eine Bijektion [mm] $\varphi:\IN\rightarrow\IN^n$, [/mm] so konvergiert $f$ absolut in $b$.
(c) Im Allgemeinen gilt nicht
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} a_{\varphi(n)}b^{\varphi(n)}$ [/mm] konvergiert für eine Bijektion [mm] $\varphi:\IN\rightarrow\IN^n~\Rightarrow~f$ [/mm] konvergiert in $b$. |
Hallo,
ich höre eine Vorlesung in Kommutativer Algebra und wir behandeln derzeit Potenreihenringe. Hierbei tue ich mich noch sehr schwer mit dem Verständnis der Elemente dieser Ringe, den formalen Potenzreihen.
Bei diesen Aufgaben weiß ich nicht, wie die Definitionen aus der Vorlesung angewandt werden müssen, daher komme ich nicht einmal zu Ansätzen.
Ich würde mich über jede Hilfe freuen, da ich dringend Punkte brauche.
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Di 09.12.2008 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]f=\sum_{\nu\in\IN^n} a_{\nu} \cdot z^{\nu}\in \IC[[x_1,...,x_n]][/mm]
> eine formale Potenzreihe und [mm]b\in\IC^n[/mm]. Zeige
>
> (a) [mm]f[/mm] konvergiert in [mm]b ~\Rightarrow~ \sum_{n=0}^{\infty} a_{\varphi(n)}b^{\varphi(n)}[/mm]
> konvergiert für jede Bijektion [mm]\varphi:\IN\rightarrow \IN^n[/mm].
Was heißt denn, wenn f in b konvergiert? Dann wird über alle multionomial Indizes addiert, oder? Wenn nicht, vergiß den Rest.
> (b) Konvergiert die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_{\varphi(n)}b^{\varphi(n)}[/mm]
> absolut für eine Bijektion [mm]\varphi:\IN\rightarrow\IN^n[/mm], so
> konvergiert [mm]f[/mm] absolut in [mm]b[/mm].
>
> (c) Im Allgemeinen gilt nicht
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_{\varphi(n)}b^{\varphi(n)}[/mm]
> konvergiert für eine Bijektion
> [mm]\varphi:\IN\rightarrow\IN^n~\Rightarrow~f[/mm] konvergiert in
> [mm]b[/mm].
Das sind alles bloß Variationen des Umordungssatzes falls eine Potenz-Reihe absolut konvergiert. ein Gegenbeispiel ist zB einfach eine nicht absolut konvergente Reihe wie etwa [m]\sum\frac{(-1)^n}{n}[/m]. Ohne es selbst durch zu nudeln, nehme ich an der Beweis geht ganz analog für den Standard-Analysis-Fall.
SEcki
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