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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 So 13.11.2005 | | Autor: | AriR |
habe die frage in keinem anderen forum gestellt!
Hey leute, folgendes problem:
Sei [mm] a_{n} [/mm] n [mm] \IN [/mm] eine Folge ganzer Zahlen die gegen a [mm] \IR [/mm] konvergiert. Zeigen sie, a [mm] \IZ [/mm] und es gibt ein [mm] n_{0} [/mm] [mm] \IN [/mm] mit [mm] a_{n} [/mm] =a für alle n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
also das was da steht ist ja komplett logisch, nur wie kann man das zeigen? heißt zeigen eigentlich beweisen? also muss ich das formail beweisen oder kann ich da auch eine text schreiben? kann mir vieleicht einer von euch einen denkanstoß geben.. vielen dank im voraus gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 So 13.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
Gemäß Definition der Konvergenz darfst Du Dir ja ein beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] \ > \ 0$ wählen, für das gilt:
[mm] $\left| \ a_n - a \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] für $n \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] n_0$
[/mm]
Und nun wählst Du Dir ein [mm] $\varepsilon [/mm] \ < \ 1$ . Da [mm] $a_n, [/mm] a \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IZ$ [/mm] kann die Differenz [mm] $\left| \ a_n - a \ \right|$ [/mm] aber nur diskrete Schritte annehmen, also $0; \ 1; \ 2; \ ...$ .
Gemeinsam mit der Voraussetzung der Konvergenz für ein beliebig kleines [mm] $\varepsilon [/mm] \ < \ 1$ kann also nur gelten: [mm] $\left| \ a_n - a \ \right| [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ $a_n [/mm] \ = \ a$
Gruß
Loddar
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