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Die Folge ist definiert als:
[mm] a_{0} [/mm] = 0
[mm] a_{k+1} [/mm] = [mm] a_{k}+2*k-1
[/mm]
mit k [mm] \ge [/mm] 1
[mm] a_{2} [/mm] kann man berechnen mit der Formel aber wenn k [mm] \ge [/mm] 1 ist wie kommt man auf [mm] a_{1}? [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Folge ist definiert als:
>
> [mm]a_{0}[/mm] = 0
> [mm]a_{k+1}[/mm] = [mm]a_{k}+2*k-1[/mm]
>
> mit k [mm]\ge[/mm] 1
>
>
> [mm]a_{2}[/mm] kann man berechnen mit der Formel aber wenn k [mm]\ge[/mm] 1
> ist wie kommt man auf [mm]a_{1}?[/mm]
Ich vermute, dass sich da jemand verschrieben hat und es lauten soll: "... für k [mm] \ge [/mm] 0 ..."
FRED
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angenommen [mm] a_{1} [/mm] = 0
Wie beweist man die Folge mit vollständiger Induktion?
Wenn die Folgenglieder mit dieser Formel berechnet werden können: [mm] (k-1)^2 [/mm]
Wenn das die rechte Seite der vollständigen induktion ist was kommt auf die Linke?
für k [mm] \ge [/mm] 1
[mm] a_{k+1} [/mm] = [mm] a_{k}+2k-1
[/mm]
[mm] (k-1)^2
[/mm]
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Hallo,
setze auf der rechten Seite [mm] a_k=(k-1)^2. [/mm] Überlege dir, was links explizit herauskommen sollte und zeige, dass genau dies passiert. Das geht so einfach, dass es schon fast wieder schwierig ist. 
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> setze auf der rechten Seite [mm]a_k=(k-1)^2.[/mm] Überlege dir, was
> links explizit herauskommen sollte und zeige, dass genau
> dies passiert.
Gegeben ist ja eine Formel die [mm] (k-1)^2 [/mm] rekursiv anders schreibt.
Könnte man auch so schreiben:
[mm] \produkt_{i=1}^{2}(k-1)
[/mm]
Aber explizit wie beim Gaus z.B. fällt mir nicht ein :(
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Hallo,
ne, das ist ganz falsch. Setze einfach wie geschrieben in die Rekursionsgleichung für [mm] a_k (k-1)^2 [/mm] und löse mal die Klammer auf...
Der Rest ergibt sich quasi von selbst.
Gruß, Diophant
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[mm] a_{k+1} [/mm] = [mm] a_{k}+2k-1
[/mm]
[mm] a_{k+1} [/mm] = [mm] (k-1)^2+2k-1 [/mm] = (k-1)(k-1)+2k-1 = [mm] k^2-k-k+1+2k-1 [/mm] = [mm] k^2
[/mm]
Ok, also ich weiss das die Formel zu k als Eingabe das Quadrat auswirft und will jetzt zeigen das k+1 den richtigen Wert für das nächste Folgeglied auswirft oder?
I.A.
?
I.V.
Ist die I.V identisch mit der ersten Zeile des I.S. ?
I.S.
[mm] (k-1)^2+2k-1 [/mm] = [mm] k^2
[/mm]
[mm] k^2+2(k+1)-1 [/mm] = [mm] (k+1)^2
[/mm]
[mm] k^2+2k+2-1 [/mm] = [mm] (k+1)^2
[/mm]
[mm] k^2+2k+1 [/mm] = [mm] (k+1)^2 [/mm] #zweite binomische Formel
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Hallo,
da stecken Fehler drin und auch den Sinn der Übung verstehe ich nicht so ganz. Ich hatte es folgendermaßen gemacht:
IV:
[mm] a_k=(k-1)^2
[/mm]
IS:
[mm] a_{k+1}=a_k+2k-1
[/mm]
[mm] =(k-1)^2+2k-1 [/mm] [per Induktionsvoraussetzung]
[mm] =k^2-2k+1+2k-1
[/mm]
[mm] =k^2
[/mm]
[mm] =(k+1-1)^2
[/mm]
[mm] =((k+1)-1)^2
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Gruß, Diophant
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Ich hab das ganze nochmal etwas anders aufgeschrieben um es deutlicher zu machen
Formel die Bewiesen werden soll: [mm] (k-1)^2 [/mm] - diese Formel kann man aus den ersten paar Gliedern der Folge [mm] a_{k+1} [/mm] = [mm] a_{k}+2k-1 [/mm] ablesen.
für k [mm] \ge [/mm] 1
I.A.:
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] (1-1)^2 [/mm] = 1
I.V.:
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] (k-1)^2
[/mm]
I.S.:
Sollte man an dieser Stelle besser die zweite Zeile schreiben oder ist das egal?
Auch wird auf der linken Seite k durch k+1 ersetzt, aber nicht auf der rechten da k+1 bereits mit der Folge vorgegeben ist - Kann man das so schreiben?
[mm] a_{k+1} [/mm] = [mm] a_{k}+2k-1 [/mm]
[mm] k^2 [/mm] = [mm] a_{k}+2k-1
[/mm]
= ...
= [mm] k^2
[/mm]
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Hallo,
> Ich hab das ganze nochmal etwas anders aufgeschrieben um es
> deutlicher zu machen
mir scheint, du hast das Gegenteil erreicht:
> I.A.:
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm](1-1)^2[/mm] = 1
da kommt 0 heraus, und so ist die Aufgabe ja auch gestellt. inswbesondere passt die explizite Darstellung einer Rekursion stets nur genau für einen Startwert,
> I.V.:
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm](k-1)^2[/mm]
>
> I.S.:
> Sollte man an dieser Stelle besser die zweite Zeile
> schreiben oder ist das egal?
>
> Auch wird auf der linken Seite k durch k+1 ersetzt, aber
> nicht auf der rechten da k+1 bereits mit der Folge
> vorgegeben ist - Kann man das so schreiben?
>
> [mm]a_{k+1}[/mm] = [mm]a_{k}+2k-1[/mm]
> [mm]k^2[/mm] = [mm]a_{k}+2k-1[/mm]
> = ...
> = [mm]k^2[/mm]
Hier sehe ich nicht, was deutlicher zum Ausdruck kommt als in meiner Version des Induktsionschrittes. Das essentiell wichtige bei diesem Schritt ist ja, dass die Induktionsvoeraussetzung, also hier: [mm] a_k=(k-1)^2, [/mm] verwqendet wird. Und genau das habe ich doch getan, um [mm] a_{k+1} [/mm] explizit zu bekommen. Wo fehlt dir da Deutlichkeit?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Fr 20.01.2012 | | Autor: | studentxyz |
Danke für dein Feedback, du hast recht meine Variante macht es nicht wirklich deutlicher hat mir aber beim Verständnis geholfen.
Bis auf den I.A. der falsch war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
deine Variante wird sogar von manchem als falsch angesehen: du verwendest nämlich den Induktionsschluss, und zeigst, dass daraus die Induktiuonsvoraussetzung folgt. Diese Vorgehensweise ist von der Grundidee her falsch, sie funktioniert hier nur, weil wir eine Gleichheit, also eine Äquivalenzralation vorliegen haben. Würdest du für eine Ungleichung so vorgehen, so könntest du damit ziemlich viel Unsinn beweisen.
Aus den genannten Gründen würde dein Ansatz, je nach Level deiner Ausbildung, als falsch bewertet werden. Es gibt sogar Gymnasiallehrer, die dies (völlig zu Recht) tun.
Gruß, Diophant
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Aber in den I.S. habe ich doch die I.V eingesetzt, wo steht bei mir der Weg andersrum?
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Hallo,
> Aber in den I.S. habe ich doch die I.V eingesetzt, wo steht
> bei mir der Weg andersrum?
der Induktionsschluss ist ja der Beweis
A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)
Aber wie gesagt, ein Beweis. Du verwendest A(n+1) zunächstjedoch unbewiesen. Das geht glücklicherweise gut. Mache dir jetzt aber klar, weshalb: das liegt ausschließlich daran, dass eine Gleichheit gezeigt wird, welche eben eine Äquivalenzrelation ist und daher insbesonere transitiv und symmetrisch.
Gruß, Diophant
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Tut mir leid, sehe immer noch nicht was du meinst.
Das hier war ja deine Version:
IV:
[mm] a_k=(k-1)^2
[/mm]
IS:
[mm] a_{k+1}=a_k+2k-1
[/mm]
[mm] =(k-1)^2+2k-1 [/mm] [per Induktionsvoraussetzung]
[mm] =k^2-2k+1+2k-1
[/mm]
[mm] =k^2
[/mm]
[mm] =(k+1-1)^2
[/mm]
[mm] =((k+1)-1)^2
[/mm]
[mm] \Box [/mm]
dort steht doch im I.S. auch als erstes [mm] a_{k+1} [/mm] wie bei mir?
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Hallo,
ich verwende [mm] a_k=(k-1)^2. [/mm] Das ist die Induktionsvoraussetzung, die wird ja als wahr angenommen. Du setzt das zwar auch ein, aber gleichzeitig setzt du [mm] a_{k+1}=k^2, [/mm] und das ist ja der Induktionsschluss, der erst bewiesen werden soll.
Mache dir unbedingt klar, dass das hier nur aus einem Grund gutgeht (den ich schon erwähnt habe): du beweist eine Gleichheit, also eine symmetrische und transitive Relation. Auf gut deutsch: so eine Gleichungskette, wie sie bei unseren Induktionsschlüssen entsteht, funktioniert stets in beide Richtungen. Und so lange man nur äquivalente Termumformungen vornimmt, kann dabei nichts weiter passieren.
Schaue dir aber nochmal den Beweis der vollständigen Induktion an - man findet ihn in jedem guten Analysis 1-Buch, oder auch in anderen Grundlagenwerken. Dann wird dir vielleicht klarer, was ich meine.
Gruß, Diophant
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Achso meinst du das, die Umformungen führen ja schon dort hin hatte es nur oben eingesetzt um zu zeigen wo es hin gehen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich glaube, was Diophant sagen wollte, war nur, dass Du beachten sollst, dass Du nicht die Behauptung als Voraussetzung benutzt und dann Widerspruchsfreiheit folgerst.
Wenn Du $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ zeigen willst, dann gehst Du ja auch nicht so vor, dass Du sagst: Okay, wir setzen nun [mm] $B\,$ [/mm] voraus und folgerst damit dann los... wenn überhaupt, nimmst Du an, dass $B$ nicht gelte, und führst dann etwa den Beweis per Kontraposition.
Ein kurzes Beispiel:
Dir ist sicher klar, dass die Ungleichung
[mm] $$n^2 \le [/mm] 25$$
nur für alle natürlichen $n [mm] \le [/mm] 5$ gilt. Wenn Du nun behauptest, dass sie für alle natürlichen [mm] $n\,$ [/mm] gilt, so geht der Beweis schief:
Aus [mm] $n^2 \le [/mm] 25$ kann man beim Schritt $n [mm] \to [/mm] n+1$ nicht zwangsläufig [mm] $(n+1)^2=n^2+2n+1 \le [/mm] 25$ folgern, wenn man die I.V. [mm] $n^2 \le [/mm] 25$ benutzt.
Macht man den Beweis aber FALSCH und sagt:
Okay, wir wissen [mm] $n^2 \le 25\,.$ [/mm] Jetzt nehmen wir [mm] $(n+1)^2 \le [/mm] 25$ an und erkennen, dass wegen
[mm] $$n^2 [/mm] < [mm] (n+1)^2 \le [/mm] 25$$
also die I.V. [mm] $n^2 \le [/mm] 25$ auch folgt, so haben wir gar nichts gezeigt.
Gruß,
Marcel
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