fkt. mit parameter < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mo 26.11.2007 | | Autor: | mef |
| Aufgabe | Der graph der funktion [mm] f_a [/mm] (x)= [mm] x/{x^{2}+a^{2}} [/mm]
mit a größer 0, die x-achse und die geraden mit den
gleichungen x=u und x=2u (u größer 0) begrenzen eine
fläche A(u).
a) berechnen sie A(u) und zeigen sie dass A(u) streng monoton zunimmt.
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hallo erstmal, ich verstehe nicht genau was ich machen soll:
ich hätte jetzt erst das intergral berechnet für die fläche.
jedoch sind die grenzen keine genauen zahlen.
außerdem weiß ich das mit der monotonie nicht mehr
so genau.
wäre dankbar für jegliche hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
lautet deine Funktion [mm] f(x)=\frac{x}{x^2+a^2}?
[/mm]
Nun, die Gerade x=u ist eine parallel zur y-Achse. x=2u ebenaflls. Dann zeichne dir mal die Funktion f auf, und gucke, was für eine Fälche dann gemeint sein könnte. Dann musst weist du auch die Integratoinsgrenzen und kannst dann integrieren, und bekommst so eine Funktion A(u) heraus.
Wenn die Fläche monoton zunehmen soll, so musst du die Ableitung von A(u) berechnen, und zeigen, dass die monoton steigt (also dass die Steigung der Funktion A(u) größer als 0 ist).
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mef!
Du musst hier folgendes Integral bestimmen:
[mm] $$A_a(u) [/mm] \ = \ [mm] \integral_{u}^{2u}{f_a(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{u}^{2u}{\bruch{x}{x^2+a^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{u}^{2u}{\bruch{2*x}{x^2+a^2} \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 26.11.2007 | | Autor: | mef |
danke schon mal euch beiden,
nach dem oben stehenden intergral wäre die fläche doch [mm] \bruch{2}{u} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
war denn die Funktion [mm] $f(x)=\frac{x}{x^2+a^2}$ [/mm] so richtig?
Wenn die FUnktion so heißt, ist deine Funktion für die Fläche falsch.
Poste doch mal deine Rechnung bitte.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mo 26.11.2007 | | Autor: | mef |
hi
die funktion ist so wie du es hast schon richtig.
in diese funktion die grenzen eingesetzt erhalte ich:
[mm] 4u\2u^2+a^2 [/mm] - [mm] 2u/u^2+a^2
[/mm]
die schreibweise muss ich mir noch angewöhnen
[mm] =3u^2 +2a^2
[/mm]
[mm] =2u/u^2
[/mm]
=2/u
lg mef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mef!
Deine Stammfunktion zu [mm] $\bruch{x}{x^2+a^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2x}{x^2+a^2}$ [/mm] ist falsch.
Durch die o.g. Umformung haben wir doch im Zähler exakt die Ableitung des Nenners.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 26.11.2007 | | Autor: | mef |
neuer versuch:
die stammfunktion wöre dann..
[mm] 0,5[x^2 [/mm] *-1/3x -1/3x]
dann nur noch die grenzen einsetzen stimmts ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
leider nein...
Wenn du eine Funktion der Art g'(x)/g(x) dort stehen hast, dann ist die Stammfunktion dazu F(x)=ln(|g(x)|) +C
Wende das mal an.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 26.11.2007 | | Autor: | mef |
ich bin jetzt total verwirrt...hmm.
könntest du mir die zahlen eingesetzt zeigen wie es gemeint ist???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nun ja, wenn du dein f(x) so, wie Loddar es schon geschrieben hat, schreibst, dann steht dort im Zähler doch die Ableitung des Nenners. Also lautet deine Funktion [mm] g(x)=x^2+a^2, [/mm] g'(x)=2x.
Nun, dann lautet eine Stammfunktion [mm] \frac{1}{2}ln|x^2+a^2|, [/mm] da du den konstanten Faktor 1/2 erst einmal aus dem Integral rausziehen kannst.
Kommst du jetzt weiter?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 26.11.2007 | | Autor: | mef |
eeeeeeeeeeeeee.. und dann?
KANN ICH jetzt einfach die grenzen einsetzen ß?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast doch jetzt 'ne Stammfunktion gefunden, mit F'(x)=f(x).
Dann gilt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung, dass [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a).
[/mm]
Auf deutsch: Ja, kannst du.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Mo 26.11.2007 | | Autor: | mef |
vielen vielen dank!!!
habe es verstanden!
mef;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
schön, dass du es versatnden hast=)
Liebe Grüße,
Kroni
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