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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Fr 30.01.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | | Warum hat jede durch eine stetige Funktion [mm] g:[0,1]\to[0,1] [/mm] gegebene Iteration [mm] x_{n+1}=g(x_{n}) [/mm] (mindestens) einen Fixpunkt? |
boitte helft mir!
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> Warum hat jede durch eine stetige Funktion [mm]g:[0,1]\to[0,1][/mm]
> gegebene Iteration [mm]x_{n+1}=g(x_{n})[/mm] (mindestens) einen
> Fixpunkt?
Hallo simplify,
das kann man sich wohl grafisch klar machen.
Der Graph von g muss eine zusammenhängende
Kurve sein, welche die Punkte A(0/a) und B(1/b)
mit a=g(0), b=g(1) und also [mm] 0\le a\le [/mm] 1 und [mm] 0\le b\le [/mm] 1
miteinander verbindet und ganz innerhalb des
Quadrats OPQR mit O(0/0) und Q(1/1) verläuft.
Diese Kurve muss an wenigstens einer Stelle die
Diagonale [mm] \overline{OQ} [/mm] schneiden. Der x-Wert
eines solchen Schnittpunkts ist ein Fixpunkt von g.
Sollte statt eines solchen sehr anschaulichen
Beweises ein mehr formaler Beweis gefragt sein,
würde ich dir empfehlen, die Funktion f(x):=g(x)-x
zu betrachten und den Zwischenwertsatz auf dem
Intervall [0;1] anzuwenden - ein "besserer"
Beweis wäre dies aber meiner Ansicht nach
kaum.
Gruß Al-Chw.
Edit: Statt "Zwischenwertsatz" hatte ich zuerst
"Mittelwertsatz" geschrieben, was irreführend ist.
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