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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Sa 12.04.2008 | | Autor: | ydurt |
| Aufgabe | Ein Prüfer an einer Universität entwickelt einen Multiple-Choice-Test, der aus 50 Fregen mit je 4 Anworten besteht, von denen jeweils genau eine richtig ist. Für das Bestehen des Tests legt er die Mindestzahl richtiger Antworten nach folgendem Kriterium fest: Wenn ein Student durch sein Wissen nur die Hälfte der Fragen sicher richtig beantworten kann und die übrigen Fragen ausschließlich aufgrund bloßeb Ratebs beantwortet, dann soll er den TEst mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% nicht bestehen.
a)
Bestimmen Sie, wie viele Fragen mindestens richtig beantwortet werden müssen, damit der Test unter den genannten Bedingungen bestanden wird. |
so...ich hab nun schon ne weile dran rumgerechnet mit Gauss, aber ich komme absolut nicht auf die richtige Lösung.
hier mal mein ansatz, vielleicht findet ja jemand meinen fehler....
[mm] P(x\lek)\le0,05
[/mm]
[mm] E(X)=n*p\Rightarrow [/mm] 6,25
siegma: [mm] \wurzel{(n*p*(1-p))} [/mm] also etwa 2,1
y-wert von gauss-funktion bei 0,95 anzeigen lassen: 1,644
und dann die funktion
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \bruch{k-6,25}{2,1}=1,644
[/mm]
und wenn ich dann k ausrechne, da komm ich nur auf 9,8
aber in den lösungen steht, dass k [mm] \ge [/mm] 11 sein muss
kann mir denn da ma bitte jemand meinen fehler verraten?
wäre ganz lieb
lg die trudy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Blech |
> [mm]\bruch{k-6,25}{2,1}=1,644[/mm]
> und wenn ich dann k ausrechne, da komm ich nur auf 9,8
> aber in den lösungen steht, dass k [mm]\ge[/mm] 11 sein muss
Der Student beantwortet 25 Fragen zufällig. Binomialverteilung, Erfolgswahrscheinlichkeit 0.25.
Die 0.95 Quantile der Binomialverteilung mit n=25 und p=0.25 ist 10. D.h. die Wahrscheinlichkeit, daß er mehr als 10 Fragen (= 11 oder mehr Fragen) zufällig richtig beantwortet ist kleiner 0.05. (Habt ihr keine Tabellen für die Binomialverteilung?)
> kann mir denn da ma bitte jemand meinen fehler verraten?
Eine Faustregel, ab wann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren kann, ist np(1-p)>9
Hier haben wir 25*0.25*(1-0.25)=4.7
D.h. die Näherung ist dafür eigentlich noch recht gut, aber eben leider kleiner als 10 und Du hast dann daraus [mm] $k\geq [/mm] 10$ geschlossen.
Runden bevor Du weiterrechnest kann helfen:
Wir wollen hier eine ganzzahlige Quantile (weil wir ja an ganzzahligen Werten Interesse haben), aber durch die Näherung kriegen wir 9.8. Also runden wir das zuerst auf die nächste ganze Zahl: $9.8\ [mm] \rightarrow\ [/mm] 10$ und rechnen dann mit dieser 10 weiter.
Dann kommt auch das richtige raus (d.h. Unsere Näherung für die 0.95 Quantile der Binomialverteilung ist 10, damit gilt k>10 und das ist das gleiche wie [mm] $k\geq [/mm] 11$).
Besser wäre es allerdings, mit Tabellen (oder dem Computer) sich die Quantile für die Binomialverteilung zu besorgen. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 So 13.04.2008 | | Autor: | ydurt |
das problem ist nur, dass wir solche tabellen noch nie behandelt haben, ich hab absolut keine ahnung wie ich die verwenden soll.....kannst mir da vielleicht ma nen kleinen crash-kurs geben????
wäre voll lieb
lg die trudy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 So 13.04.2008 | | Autor: | Blech |
Du hast doch die Quantile der Normalverteilung auch gefunden:
> y-wert von gauss-funktion bei 0,95 anzeigen lassen: 1,644
Wie auch immer Du da rangekommen bist, für die Binomialverteilung machst Du das ganze analog. =)
Allgemein:
Du hast eine Sammlung von ![[]](/images/popup.gif) Tabellen für die entsprechende Verteilung.
Du überlegst Dir, was genau Du willst.
(hier: Binomialverteilung, n=25, p=0.25; gesucht ist das kleinste z, so daß
$P(X [mm] \geq z)\leq [/mm] 0.05$. Tabellen für [mm] $P(X\geq [/mm] z)$ wirst Du nicht finden, also müssen wir umformen:
[mm] $\Leftrightarrow 1-P(X
[mm] $\Leftrightarrow P(X
[mm] $\Leftrightarrow P(X\leq z-1)\geq [/mm] 0.95$
-- das hattest Du für die Normalverteilung ja auch gemacht. Hier nur noch mal sehr ausführlich =)
Tabellen für [mm] $P(X\leq [/mm] k)$/Verteilungsfunktion/kumulierte Verteilung raussuchen. Die Tabelle für n=25 finden und dort die Spalte für p=0.25 hochwandern bis die Wkeit zum ersten mal größer oder gleich 0.95 wird. Für k=9 ist sie 0.9287, für k=10 0.9703.
10=z-1, also z=11.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 So 13.04.2008 | | Autor: | ydurt |
ok dann danke ich dir...
eigentlich brauch ich das ja in sachsen eh nich, aber mich hats eben ma interessiert, und es ist ja ni so dumm, wenn man mehr weiß^^
also vielen dank nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 So 13.04.2008 | | Autor: | Blech |
> ok dann danke ich dir...
> eigentlich brauch ich das ja in sachsen eh nich, aber mich
oO Was macht man in Sachsen dann im Mathe-LK?!
Ich fand Stochastik immer eins der wichtigsten Themen in der Schulmathe, speziell auch wenn man später nichts mehr mit Mathe macht. =)
> hats eben ma interessiert, und es ist ja ni so dumm, wenn
> man mehr weiß^^
Richtig, weiter so, Wissen ist Macht. =P
ciao
Stefan
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