fast überall stetig < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Sa 08.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^n \to \IR [/mm] eine Funktion. Sind die beiden Aussagen (1) und (2) äquivalent?
(1) f ist fast überall stetig.
(2) f ist fast überall gleich einer stetigen Funktion. |
Ich habe keine Ahnung, wie ich das zeigen kann bzw. widerlegen kann.
Ich dachte, man könnte als Gegenbeispiel [mm] \chi_{\IQ} [/mm] betrachten, aber ich habe keine Ahnung, ob das stimmt.
Und ein anderes Gegenbeispiel fällt mir nicht ein, geschweige denn, dass ich den Beweis führen könnte.
Kann mir jemand einen Tipp geben??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Sa 08.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IR^n \to \IR[/mm] eine Funktion. Sind die beiden Aussagen
> (1) und (2) äquivalent?
>
> (1) f ist fast überall stetig.
> (2) f ist fast überall gleich einer stetigen Funktion.
> Ich habe keine Ahnung, wie ich das zeigen kann bzw.
> widerlegen kann.
>
> Ich dachte, man könnte als Gegenbeispiel [mm]\chi_{\IQ}[/mm]
> betrachten, aber ich habe keine Ahnung, ob das stimmt.
Das stimmt. Diese Funktion ist in keinem Punkt stetig, stimmt aber fast überall mit der Nullfunktion überein
FRED
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> Und ein anderes Gegenbeispiel fällt mir nicht ein,
> geschweige denn, dass ich den Beweis führen könnte.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 08.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Danke! Dann lag ich ja doch richtig!
Nun muss ich das Ganze natürlich noch formal korrekt aufschreiben, d.h. zeigen, dass für das gewählte Beispiel die Aussagen tatsächlich nicht äquivalent sind. |
Folgendes habe ich mir überlegt.
Aussage (1) bedeutet, dass es eine Nullmenge [mm] \mathcal{N} [/mm] gibt, sodass die Funktion stetig ist für alle [mm] x\notin \mathcal{N}.
[/mm]
Aussage (2) bedeutet, dass es eine Nullmenge [mm] \mathcal{D} [/mm] gibt, sodass die Funktion gleich einer stetigen Funktion ist für alle [mm] x\notin \mathcal{D}.
[/mm]
Würde jetzt die Äquivalent gelten, würde das für die Hin-Richtung bedeuten [hier bin ich mir nicht sehr sicher]:
[mm] x\in \mathcal{N}\Rightarrow x\in \mathcal{D}.
[/mm]
Das ist ja aber nicht der Fall, da z.B. die Funktion in [mm] \pi [/mm] nicht stetig ist, jedoch in [mm] \pi [/mm] der (stetigen) Nullfunktion gleicht, d.h. [mm] \pi \in \mathcal{N}, [/mm] jedoch [mm] \pi \notin \mathcal{D}.
[/mm]
Ist das so korrekt argumentiert?
[Die Rückrichtung lasse ich erstmal noch weg.]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Harris |
Wieso betrachtest du nur den einen Punkt [mm] \pi [/mm] ?
Ich würde Zeigen, dass ii->i nicht gilt, da eben die Dirichlet-Funktion ein gutes Gegenbeispiel ist.
Fast überall gleich der Nullfunktion, jedoch stetig in keinem Punkt - also insbesondere nicht "fast überall" stetig.
Ich denke, das dürfte als Argumentation genügen, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Sa 08.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ja, das macht Sinn, dankesehr!
Ich bin mir nicht sicher: Aber Äquivalenz bedeutet ja, dass BEIDE Richtungen gelten, da die eine nicht gilt, ist die Frage, ob die beiden Aussagen äquivalent sind, mit NEIN zu beantworten: Ein Gegenbeispiel ist gefunden. |
Ich möchte dennoch die Frage stellen:
Ist es ausreichend so zu argumentieren wie von Harris vorgeschlagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 08.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das macht Sinn, dankesehr!
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> Ich bin mir nicht sicher: Aber Äquivalenz bedeutet ja,
> dass BEIDE Richtungen gelten, da die eine nicht gilt, ist
> die Frage, ob die beiden Aussagen äquivalent sind, mit
> NEIN zu beantworten: Ein Gegenbeispiel ist gefunden.
>
> Ich möchte dennoch die Frage stellen:
>
> Ist es ausreichend so zu argumentieren wie von Harris
> vorgeschlagen?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 08.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Vielen Dank an alle, die geholfen haben!
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