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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Sa 01.12.2007 | | Autor: | nicci22 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle n aus N, für welche die folgende Ungleichung gilt:
n ! <= [mm] (n/2)^n
[/mm]
.
(Hinweis: Bernoulli-Ungleichung anwenden auf (1 + 1
[mm] /n)^n.) [/mm] |
hallo lieber mathematiker kann jemand mir dabei helfen
ich hab bis jetzt nur rausgefunden dass [mm] (1+1/n)^n [/mm] >= 2 ist
kann man mir sagen dass dann weitergeht?
LG
Nicole
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Sa 01.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nicole!
> Bestimmen Sie alle n aus N, für welche die folgende
> Ungleichung gilt:
> n ! <= [mm](n/2)^n[/mm]
>
> .
> (Hinweis: Bernoulli-Ungleichung anwenden auf [mm](1 + 1/n)^n.)[/mm]
> hallo lieber mathematiker kann jemand mir dabei helfen
> ich hab bis jetzt nur rausgefunden dass [mm](1+1/n)^n[/mm] >= 2 ist
> kann man mir sagen dass dann weitergeht?
Mit vollständiger Induktion. Die Ungleichung [mm](1+1/n)^n\ge 2 [/mm] brauchst du für den Induktionsschritt.
Allerdings gilt die Aussage nicht schon bei n=1; für den Induktionsanfang musst also erst ein n finden, für das die Aussage gilt. Das ist ein bischen Rechnerei.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Sa 01.12.2007 | | Autor: | nicci22 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle n aus N, für welche die folgende Ungleichung gilt:
n ! <= $ [mm] (n/2)^n [/mm]
.
(Hinweis: Bernoulli-Ungleichung anwenden auf (1 + 1
$ [mm] /n)^n.) [/mm] |
kann mir jemand weiterhelfen?
ich weiss dass es für 1,2,3 nicht gilt
und bis jetzt weiss ich nur dass [mm] (1+1/n)^n [/mm] >= 2
Lg Nicole
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:29 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nicole,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Rainer hat Dir doch schon den Tipp mit der volltsändigen Induktion gegeben. Für die Startbedingung (= Induktionsanfang) musst Du hier den Wert $n \ = \ 6$ wählen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 02.12.2007 | | Autor: | nicci22 |
| Aufgabe | IA: n=6
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IS:
(n+1)*n! <= [mm] (n+1)*(n/2)^n [/mm] = [mm] (1+1/n)*(n^{n+1}/2^n) [/mm] = .....? |
ich weiss nicht wie das weiter geht :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 So 02.12.2007 | | Autor: | nicci22 |
ich habs jetzt ! danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 02.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Nicole
Du musst zeigen, dass
[mm] (n\red{+1})!\le\left(\bruch{n\red{+1}}{2}\right)^{n\red{+1}}
[/mm]
Am einfachsten geht das mit einer (Un)gleichungskette
(n+1)!
=n!*(n+1)
[mm] \le \left(\bruch{n}{2}\right)^{n}*(n+1) [/mm] (IV)
Versuch jetzt mal, alleine weiterzukommen.
Ein Tipp noch: Wenn du das Ziel kennst, wir es oft einfacher:
[mm] \left(\bruch{n+1^}{2}\right)^{n+1}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{n+1}{2}\right)^{n}*\left(\bruch{n+1}{2}\right)
[/mm]
[mm] =\left(\left(\bruch{n}{2}\right)^{n}+\left(\bruch{1}{2}\right)^{n}\right)*\left(\bruch{n+1}{2}\right)
[/mm]
Passend "Weglassen" ergibt:
[mm] \ge\left(\left(\bruch{n}{2}\right)^{n}+\left(\bruch{1}{2}\right)^{n}\right)*(n+1)
[/mm]
Den Rest solltest du jetzt erstmal alleine versuchen, es ist eigentlich nur noch ein kleiner Schritt mit vernünfiger Begründung
Marius
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