f(x) = sin(x)/x < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Do 04.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo ihr,
ist f(x)=sin(x)/x in 0 stetig fortsetzbar?
Ich würde sagen "nein", denn f(0) = sin(0)/0 = 0/0 => n.d.
Würde das schon als Begründung reichen, oder muss man zusätzlich noch mit dem rechts- und linksseitigen Grenzwert argumentieren?
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Do 04.10.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du solltest also den Grenzewrt von x gegen Null bilden.
Du hast dann in der Tat den Fall 0/0, und für solche Sachen kommt dann die Regeln von de L'hospital in Frage.
So kannst du dann den Grenzwert berechnen und gucken, ob die Funktion stetig in 0 ist oder nicht.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 04.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
der rechtsseitige und linksseite Grenzwert ist jeweils 1.
Aber ich dachte, es müsste für Stetigkeit gelten:
rechtsseitiger Grenzwert von 0 = f(0) = linkssseitiger Grenzwert von 0
und da f(0) nicht definiert ist, müsste das doch als Argument für nicht stetig reichen?
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Do 04.10.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du beschreibst richtig, dass der Linksseitige Grenzwert von x gegen Null als auch der rechtsseitige Grenzwert für x gegen Null gleich sein müssen.
Du hast hier den unbestimmen Fall 0/0. Das ist immer etwas heikel. Deshlab gehst du dann bei der Grenzwertberechnun mit L'Hospital ran, und du siehst, wie du richtig sagtest, dass 1 herauskommt.
Somit ist der beidseitige Grenzwert von x gegen Null gleich 1. Somit ist die Funktion f stetig im Punkt x.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 04.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Kroni,
vielen Dank für deine Antworten.
Ist f(x) = sin(x)/x in 0 stetig, weil
a) rechtsseitiger Grenzwert = linksseitiger Grenzwert
oder
b) rechtsseitiger Grenzwert = [mm] \limes_{n\rightarrow 0}f(0) [/mm] = linksseitiger Grenzwert
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 04.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo elefanti!
Die Funktion $f(x) \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)}{x}$ [/mm] ist und bleibt bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht stetig, da sie dort nicht definiert ist!
Aber da die beiden Grenzwerte (linksseitig und rechtsseitig) übereinstimmen, ist diese Funktion stetig fortsetzbar, wenn man festlegt $f(0) \ := \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Do 04.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo elefanti!
Du hast völlig Recht: diese Funktion ist selbstverständlich nur für $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ definiert. Für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ liegt eine Definitionslücke vor und ist damit auch an dieser Stelle nicht stetig.
Aber Du hast ja selber festgestellt, dass der linksseitige sowie der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen mit jeweils dem Wert $+1_$ .
Damit lässt sich die Funktion nun also stetig fortsetzen, wenn Du an der Definitionslücke [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ exakt diesen Funktionswert definierst (und genau das war ja auch die eigentliche Frage).
Damit entsteht dann eine auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetige Funktion [mm] $\overline{f}(x)$ [/mm] mit:
[mm] $$\overline{f}(x):=\begin{cases} \bruch{\sin(x)}{x}, & \mbox{für } x \ \not= \ 0 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \ = \ 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Do 04.10.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo Loddar,
vielen Dank für deine Erklärung. Mir ist der Unterschied zwischen in einem Punkt stetig und im Punkt stetig fortsetzbar gar nicht bewusst gewesen.
Viele Grüße
Elefanti
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