f t( x)=t⋅cos⋅x−t⋅sin⋅x < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Aufgabenstellung lautet:
a) Leiten Sie die Kosinusfunktion anhand des Einheitskreises her.
b) Veranschaulichen Sie die Auswirkungen eines Parameters t für h( x)=t⋅cos( x) , mit
t∈ℝ auf die Kosinusfunktion.
Gegeben sei die Funktionenschar f t( x)=t⋅cos⋅x−t⋅sin⋅x mit t∈ℝ .
c) Zeichnen Sie die drei Graphen zu f t mit t= 0,5; 1; 2; wobei [mm] x\in[\bruch{1}{4\*\pi}; \bruch{4}{5\*\pi}] [/mm] .
d) Zeigen Sie, dass die Lage der Null-, Extrem- und Wendestellen von t unabhängig ist.
Bestimmen Sie die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.
e) Gegeben sei ein Kreis K mit K :( x−a )2+( y−b)2=π2
4 .
Bestimmen Sie t so, dass der Kreis den Graphen f t umschreibt. Geben Sie den
Mittelpunkt des Kreises an.
f) Bestimmen Sie die Fläche, die vom Graphen und dem Kreis eingeschlossen wird. |
Hallo ihr lieben,
ich habe im Rahmen einer Präsentationleistung folgende Aufgaben bekommen. Leider sind Cosinus und Sinus überhaupt nicht mein "Spezialgebiet"...
Ich frage mich momentan genau was das [mm] "x\in[\bruch{1}{4\*\pi}; \bruch{4}{5\*\pi}]" [/mm] bei Aufgabe c) genau zu bedeuten hat.
Soll man diese jeweils für die Variable X einsetzen?
Über eure Hilfe und Tipps würde ich mich echt freuen
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 So 27.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Aufgabenstellung lautet:
> a) Leiten Sie die Kosinusfunktion anhand des
> Einheitskreises her.
> b) Veranschaulichen Sie die Auswirkungen eines Parameters
> t für h( x)=t⋅cos( x) , mit
> t∈ℝ auf die Kosinusfunktion.
> Gegeben sei die Funktionenschar f t(
> x)=t⋅cos⋅x−t⋅sin⋅x mit t∈ℝ .
> c) Zeichnen Sie die drei Graphen zu f t mit t= 0,5; 1; 2;
> wobei [mm]x\in[\bruch{1}{4\*\pi}; \bruch{4}{5\*\pi}][/mm] .
> d) Zeigen Sie, dass die Lage der Null-, Extrem- und
> Wendestellen von t unabhängig ist.
> Bestimmen Sie die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.
> e) Gegeben sei ein Kreis K mit K :( x−a )2+(
> y−b)2=π2
> 4 .
> Bestimmen Sie t so, dass der Kreis den Graphen f t
> umschreibt. Geben Sie den
> Mittelpunkt des Kreises an.
> f) Bestimmen Sie die Fläche, die vom Graphen und dem
> Kreis eingeschlossen wird.
> Hallo ihr lieben,
>
> ich habe im Rahmen einer Präsentationleistung folgende
> Aufgaben bekommen. Leider sind Cosinus und Sinus überhaupt
> nicht mein "Spezialgebiet"...
> Ich frage mich momentan genau was das
> [mm]"x\in[\bruch{1}{4\*\pi}; \bruch{4}{5\*\pi}]"[/mm] bei Aufgabe
> c) genau zu bedeuten hat.
> Soll man diese jeweils für die Variable X einsetzen?
$x [mm] \in [/mm] [a,b]$ steht für $a [mm] \le [/mm] x [mm] \le b\,.$ [/mm] Bei c) betrachtet man also die Einschränkung
von [mm] $f_t$ [/mm] auf das Intervall [mm] $\left[\frac{1}{4\pi},\;\frac{4}{5\pi}\right]\,,$ [/mm] beim ![[]](/images/popup.gif) Graphen "werden also nur alle [mm] $x\,$ [/mm]
mit [mm] $\frac{1}{4\pi} \le [/mm] x [mm] \le \frac{4}{5\pi}$ [/mm] durchlaufen".
Machen wir mal ein anderes Beispiel: Betrachte [mm] $g(x):=4x+1\,.$ [/mm] Wenn Du dort $x [mm] \in \IR$ [/mm] zulässt
(am Besten schreibt man hier sogar etwa $g [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] dazu!), ist der Graph von [mm] $g\,$ [/mm] eine Gerade
des [mm] $\IR^2\,:$
[/mm]
Sie läuft etwa durch die Punkte [mm] $(0|1)\,$ [/mm] und [mm] $(8|33)\,.$ [/mm] (Ist aber "in beiden
Richtungen endlos!")
Sagst Du nun, dass Du nur [mm] $\tilde{g}(x):=4x+1$ [/mm] für $x [mm] \in [-1,2]\,$ [/mm] betrachtest,
so ist der Graph davon eine Strecke des [mm] $\IR^2:$
[/mm]
Die Strecke hat die Endpunkte [mm] $(-1|-3)\,$ [/mm] und [mm] $(2|9)\,.$ [/mm] (Die Endpunkte gehören
zu dem Grahen von [mm] $\tilde{g}\,.$)
[/mm]
Das Ganze findest Du allgemein übrigens unter dem Stichwort "Einschränkung
(einer Funktion/Abbildung)" oder "eingeschränkte Funktion/Abbildung", siehe
etwa
hier: Wiki-Artikel (klick!)
P.S. Du zählst die ganze Aufgabe auf, aber stellst nur eine kleine "Unterfrage"?
Hast Du noch weitere Fragen zu anderen Aufgabenteilen? Dann ist es
auch sinnvoller, die Fragen "zu splitten"...
P.P.S. Strenggenommen besteht eine Funktion aus mehreren Bestandteilen:
Den Definitionsbereich, den Zielbereich und dann muss sie ja auch noch
irgendwie beschrieben werden. Dazu gibt es viele Möglichkeiten, oftmals
ist es eine "Funktionsdefinierende Gleichung", man kann (manchmal) auch
"alle Funktionswerte angeben", oder oder oder...
Schau etwa mal in
Definition 1.6 und Bemerkung und Definition 1.7(klick!),
dort wird der "Funktionsbegriff" quasi anhand des Graphen einer Funktion
definiert. (Das darf man dort an der Stelle so eigentlich noch nicht sagen,
denn der Begriff des Graphen einer Funktion macht ja erst Sinn, wenn man
den Begriff einer Funktion schon zugrundeliegend hat. Die Definition dort
ist aber kein Zirkelschluss oder sowas, sondern man kann eher sagen,
dass sie etwas getrickst ist: Jeder, der eh schon gut mit dem Begriff "Funktion"
oder "Abbildung" umgehen kann, für den wird sie leicht verständlich sein.
Für andere klingt sie vielleicht "kompliziert", aber sie legt ihnen immerhin
schonmal etwas vor, mit dem man - rein per Definitionem - arbeiten kann.)
Ergänzend: Bei Definition 1.6 a) steht im Prinzip nichts anderes, als dass
es für jedes [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs ein [mm] $f(x)\,$ [/mm] geben muss - beachtenswert
ist bei dem, was dort steht, dass [mm] $f(x)\,$ [/mm] zudem auch ein Element des Zielbereichs
sein muss.
Es macht also etwa keinen Sinn, eine Funktion $f [mm] \colon [/mm] (-1,1] [mm] \to [/mm] [0,1)$ mit [mm] $f(x):=x^2$
[/mm]
zu definieren - denn das kann keine Funktion sein: [mm] $f(1)=1^2=1 \notin [0,1)\,.$
[/mm]
Ebenso wenig macht es Sinn, zu sagen, man hätte eine Funktion $f [mm] \colon [/mm] (-1,1) [mm] \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $f(x)=1/x\,.$
[/mm]
Der Term [mm] $1/0\,$ [/mm] ist hier nicht definiert. (Es gibt also "ein [mm] $x\in [/mm] (-1,1)$ ohne [mm] $f(x)\,:$
[/mm]
Nämlich für [mm] $x=0\,$ [/mm] gibt es kein [mm] $f(0)\,.$")
[/mm]
Bei Definition 1b) steht wiederum das, was man umgangssprachlich oft mit
"Funktionen müssen eindeutig definiert sein" ausdrückt. Im Endeffekt steht
da:
Sind [mm] $(x,y)\,,\;(\tilde{x},\tilde{y}) \in R\,,$ [/mm] so muss gelten:
$x= [mm] \tilde{x}$ $\Longrightarrow$ $y=\tilde{y}\,.$
[/mm]
Anders gesagt: Für jedes [mm] $x\,$ [/mm] des Definitionsbereichs darf es keine verschiedene
[mm] $f(x)\,$'s [/mm] geben. Und da sieht man auch schon den Vorteil, den die Relationsdefinition
mit sich bringt:
Betrachte mal die Relation
[mm] $R_1:=\{\,(y^2|y)\,: y \in \IR\}\,.$
[/mm]
Warum kann [mm] $R_1 \subseteq (\IR \times \IR)$ [/mm] keine Abbildung beschreiben?
Mithilfe der Definition 1.6 b) kann man das sauber runterschreiben: Bspw.
durch Betrachtung von [mm] $(4|2),\;(4|-2) \in R_1\,.$
[/mm]
Wenn man aber dieses "nicht eindeutig bestimmte [mm] $f(x)\,$" [/mm] benutzen will, so sieht
das wohl meist doch eher unsauber aus, meist, weil man sich schon selbst
verwirrt. (Natürlich kann man das auch dann (relativ) sauber runterschreiben,
aber oft gibt es dann Stellen, an denen man merkt: "Ist das nun sauber
ausgedrückt? Versteht wirklich jeder, wie ich das meine bzw. ist das klar?")
(P.S. [mm] $R_1$ [/mm] kann man "mithilfe der Funktionen [mm] $[0,\infty) \ni [/mm] x [mm] \mapsto \sqrt{x}$" [/mm] und
[mm] $[0,\infty) \ni [/mm] x [mm] \mapsto -\,\sqrt{x}$ [/mm] beschreiben!)
Gruß,
Marcel
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Dankeschön Marcel für die Schnelle Antwort!
Du hast mir gut weitergeholfen!
Der Exkurs für die Difinition war lehrreich (JA ich habs verstanden) und wird mir vorallem beim Fachgespräch weiterhelfen :)
Also wenn ich es richtig verstanden habe, soll ich einfach den Graphen zwischen $ [mm] x\in[\bruch{1}{4*\pi}; \bruch{4}{5*\pi}] [/mm] $ zeigen.
Hätte vermutlich später noch eine Frage zu e), aber zunächst konzentriere ich mich auf c).
NOCHMALS VIELEN DANK!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 So 27.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dankeschön Marcel für die Schnelle Antwort!
> Du hast mir gut weitergeholfen!
> Der Exkurs für die Difinition war lehrreich (JA ich habs
Definition - war aber vielleicht nur ein Vertipper.
> verstanden) und wird mir vorallem beim Fachgespräch
> weiterhelfen :)
> Also wenn ich es richtig verstanden habe, soll ich einfach
> den Graphen zwischen [mm]x\in[\bruch{1}{4*\pi}; \bruch{4}{5*\pi}][/mm]
> zeigen.
Ja, wobei, weil Du für den Parameter [mm] $t\,$ [/mm] 3 Werte hast, eigentlich besser sagen
würdest, dass Du die entsprechenden 3 Graphen zeichnen/skizzieren und
damit 'zeigen' sollst.
> Hätte vermutlich später noch eine Frage zu e), aber
> zunächst konzentriere ich mich auf c).
> NOCHMALS VIELEN DANK!!!
Einfach anhängen - kann aber sein, dass jmd. anderes antwortet (bzw.
dass ich erst "spät" antworte).
Gruß,
marcel
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