f part. diff'bar, grad=0 => f konstant < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:09 Sa 05.06.2004 | | Autor: | hutch |
Hallo, ich sitz schon ein paar Stunden an folgendem Beweis, komm aber überhaupt nicht weiter:
Sei M Teilm. von R(hoch)n, M offen und zusammenhängend, f:M->R sei partiell diff'bar mit grad Df(x) = 0 mit x Element von M.
Beweise: Dann ist f konstant auf M.
Ich würde mich sehr über Tipps und Ideen für einen Ansatz freuen.
Viele Grüße, Hutch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Sa 05.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hutch!
Die Aufgabe lässt sich mit der Kettenregel lösen.
Es seien $x,y [mm] \in [/mm] M$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist: $f(x)=f(y)$,
Da $M$ offen und zusammenhängend (und damit wegzusammenhängend) ist, gibt es einen differenzierbaren Weg [mm] $\gamma:[0,1] \to [/mm] M$ mit
[mm] $\gamma(0)=x$, $\gamma(1)=y$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm]f(y) - f(x) = f(\gamma(1)) -f(\gamma(0)) = \int_0^1 \frac{d}{dt} [f(\gamma(t))] \, dt[/mm]
Den letzten Schritt (Kettenregel anwenden) kriegst du selber hin, denke ich. 
Wenn nicht, oder wenn du sonst noch Fragen hast, dann melde dich bitte wieder.
Liebe Grüße
Stefan
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