f(m,n) injektiv, surjektiv? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Di 14.12.2004 | | Autor: | Schwinni |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Zu zeigen: f(m,n) := ((m+n) (m+n+1) / 2) + n ist injektiv, surjektiv
Ich weiss, dass f(m,n) bijektiv ist, nu der Beweis gelingt mir nicht.
Ich habe auch testweise die Ergebnisse für "ein paar" Tupel tabellarisch dargestellt und gesehen, dass eine Art Zick-Zack-Matrix herauskommt.
Folgendes habe ich mir zu "injektiv" überlegt.
Falls injektiv, dann gilt: f(m,n) = f(m',n') => m = m' und n = n'
Ich bekomme also (nach Ausmultiplizieren):
(m+n)(m+n+1) + 2n = (m'+n')(m'+n'+1) + 2n'
Das nächste was mir jetzt einfällt, ist anzunehmen, dass m != m' und auf einen Widerspruch zu stoßen. Dann könnte man m' durch m ersetzen und kommt hoffentlich darauf, dass n = n'.
Ich habe jetzt aber leider keine Idee, wie ich da etwas sinnvoll auflösen kann. Ich habe jetzt sschon viel umgeformt, usw., aber es kommt nichts Vernünftiges dabei heraus! :(
Danke schon mal!
Gruß,
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe mich jetzt endlich mal mit der Aufgabe beschäftigen und die Injektivität zeigen können. Also: Ich zeige zunächst, dass die Summe $m+n$ eindeutig bestimmt ist. Gäbe es nämlich $p,q [mm] \in \IN$ [/mm] mit
$f(p,q) = f(m,n)$,
aber: $p+q [mm] \ne [/mm] m+n$,
dann wäre oBdA $p+q [mm] \ge [/mm] m+n+1$ und damit:
$f(p,q) -f(m,n) = [mm] \frac{(p+q)(p+q+1)}{2} [/mm] + q - [mm] \frac{(m+n)(m+n+1)}{2} [/mm] - n [mm] \ge \frac{(m+m+1)(m+n+2) - (m+n)(m+n+1)}{2} [/mm] + q - n = m+n+1 + q - n = m+q+1 >0$,
Widerspruch.
Aber wenn aus $f(p,q) = f(m,n)$ sofort $p+q =m+n $, dann folgt natürlich auch $q=n$ und daraus dann $p=m$.
Liebe Grüße
Stefan
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