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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo noch einmal...
Eine kleine kurze Frage noch: Warum ist [mm] \limes_{k}||f_k||_2=\limes_{k}||\hat{f_k}||_2?
[/mm]
Folgt das direkt aus der Definition für [mm] \hat{f}?
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:06 So 16.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo Bastiane
> Eine kleine kurze Frage noch: Warum ist
> [mm]\limes_{k}||f_k||_2=\limes_{k}||\hat{f_k}||_2?
[/mm]
>
> Folgt das direkt aus der Definition für [mm]\hat{f}?
[/mm]
ich nehme mal an, dass [m] \hat{f} [/m] die fouriertransformierte von $f$ darstellt. dann folgt deine aussage direkt aus dem satz von plancherel. dieser besagt nämlich dass für $f [mm] \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^n) \cap \mathcal{L}^2(\mathbb{R}^n)$, [/mm] also für die sowohl linear als auch quadratisch integrierbaren funktionen gilt
[m] \int_{\mathbb{R}^n}| f |^2 \, \textrm{d}\lambda = \int_{\mathbb{R}^n} |\hat{f}|^2 \, \tetxrm{d} \lambda [/m]
also auch - da die [mm] $L^2$-norm [/mm] definiert ist als [m] \| g \|_2 := \left( \int_{\mathbb{R}^n} |g|^2 \, \textrm{d} \lambda \right)^\frac{1}{2} [/m] -, dass gilt
[m] \| f \|_2 = \| \hat{f} \|_2 [/m]
dass also die fourier-transformation die [mm] $L^2$-norm [/mm] der funktion nicht ändert. dies gilt bestimmt auch für jedes folgenglied [mm] $f_k$ [/mm] und damit natürlich auch für den grenzwert, da die folgen der normen exakt gleich sind!
hoffe ich heb dir etwas weitergeholfen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 So 16.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo Christiane
ich kannte dieses resultat als "formel von plancherel". ich habe aber gerade bei der suche mit google festgestellt, dass da nicht allzuviel zu finden ist, in dem diese formel anständig bewiesen wird. es ist also gut möglich, dass sie auch noch einen anderen namen hat, den kenne ich dann aber nicht.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die Aussage ist ja, dass die Fouriertransformation eine Isometrie (abstandserhaltende Abbildung) in [mm] $L^2(\IR)$ [/mm] ist. Diese Tasache (oder eine etwas allgemeinere Formel mit dem Skalarprodukt, aus der diese hier aber unmittelbar folgt) wird auch als Gleichung von Parseval (Parseval'sche Gleichung, Formel von Parseval, Parseval'sche Formel,...) oder auch als Gleichung von Parseval-Plancherel bezeichnet. Suche mal unter diesen Stichworten. Oder gib bei google "Isometrie +Fouriertransformation" bzw. "Isometrie +Fourier-Transformation" ein.
Merke dir einfach, dass die Fouriertransformation eine Isometrie im Hilbertraum (also in [mm] $L^2(\IR)$)der [/mm] quadratisch integrierbaren Funktionen ist.
Ich müsst das in der Vorlesung aber bewiesen haben, definitiv. Was habt ihr denn in Sätzen zuvor gezeigt?
Liebe Grüße
Stefan
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
