f.s. Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 17.11.2015 | | Autor: | fishy |
| Aufgabe | Seien [mm] \Omega=[0,1] F=B_{[0,1]} [/mm] und P das Lebesgue-Maß, außerdem seien n, m und [mm] k\in \mathbb{N}. [/mm] Wobei [mm] m\geq [/mm] 0 und [mm] 0\leq k\leq 2^{m}-1, [/mm] sodass [mm] n=2^m+k. A_n [/mm] definiert eine Folge von Ereignissen mit folgender Darstellung [mm] A_n=[k2^{-m},(k+1)2^{-m}) [/mm] wodurch die Zufallsvariablen [mm] X_n(\omega)=1_{A_n}(\omega) [/mm] definiert werden.
Dann gilt für die Wkt. von [mm] X_n [/mm]
[mm] P[|X_n|\geq \varepsilon]= \begin{cases} 2^{-m}, & \mbox{falls } 0\leq\varepsilon<1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } 1\leq \varepsilon \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
Um zu zeigen, dass die Folge nicht fast sicher konvergiert reicht es zu zeigen, dass es unendlich viele [mm] X_n(\omega)=1 [/mm] und unendlich viele [mm] X_n(\omega)=0 [/mm] gibt.
Sei dazu [mm] \omega\in [k2^{-m},(k+1)2^{-m}] [/mm] mit [mm] k=0,...,2^m-1. [/mm] Dann kann man durch geeignete Wahl von k erreichen, dass [mm] \omega [/mm] sowohl in [mm] A_n [/mm] als auch in [mm] \Omega\setminus A_n [/mm] liegt und somit keinen grenzwert besitzt.
Somit gilt [mm] \lim [/mm] sup [mm] X_n [/mm] =1 und [mm] \lim [/mm] inf [mm] X_n=0
[/mm]
Anschaulich ist mir das ganze klar, da ich auch bereits Graphisch gesehen habe wie die Zufallsvariable jeweils für große n aussieht.
Mir ist jedoch nicht klar, wie man das ganze Formal zeigen kann und wie die geeignete Wahl von k aussieht.
Kann man das ganze nicht auch ohne Anschaaung zeigen?
Mfg. Fruchti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Kann man das ganze nicht auch ohne Anschaaung zeigen?
klar, indem du zu einem beliebigem [mm] \omega [/mm] eine Teilfolge [mm] $n^\omega_k$ [/mm] konstruierst, so dass [mm] $X_{n_k^\omega}(\omega) [/mm] = 1$ für alle k und analog eine Teilfolge [mm] $n^\omega_j$ [/mm] so dass [mm] $X_{n_j^\omega}(\omega) [/mm] = 0$ für alle j.
Das ist hier auch nicht sonderlich schwer.
Überlege dir dazu: Für [mm] $\omega\in[0,1)$ [/mm] existiert für jedes [mm] $N\in\IN$ [/mm] ein [mm] $n_1 \ge [/mm] N$, so dass [mm] $\omega \in A_{n_1}$, [/mm] aber es existiert auch ein [mm] $n_2 \ge [/mm] N$ so dass [mm] $\omega \in A_{n_2}$.
[/mm]
Konstruiere dir daraus deine gewünschten Teilfolgen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 18.11.2015 | | Autor: | fishy |
> Hiho,
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> > Kann man das ganze nicht auch ohne Anschaaung zeigen?
>
> klar, indem du zu einem beliebigem [mm]\omega[/mm] eine Teilfolge
> [mm]n^\omega_k[/mm] konstruierst, so dass [mm]X_{n_k^\omega}(\omega) = 1[/mm]
> für alle k und analog eine Teilfolge [mm]n^\omega_j[/mm] so dass
> [mm]X_{n_j^\omega}(\omega) = 0[/mm] für alle j.
>
> Das ist hier auch nicht sonderlich schwer.
>
> Überlege dir dazu: Für [mm]\omega\in[0,1)[/mm] existiert für
> jedes [mm]N\in\IN[/mm] ein [mm]n_1 \ge N[/mm], so dass [mm]\omega \in A_{n_1}[/mm],
> aber es existiert auch ein [mm]n_2 \ge N[/mm] so dass [mm]\omega \in A_{n_2}[/mm].
>
> Konstruiere dir daraus deine gewünschten Teilfolgen.
>
> Gruß,
> Gono
Hallo Gono, also ich könnte ja
[mm] sup_{n_k\geq N} X_{N} [/mm] = 1 betrachten und alle [mm] inf_{n_k\geq N} X_{N} [/mm] = 0.
Dann wäre also [mm] $\limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] X_{N} [/mm] = 1 [mm] \not= \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] X_{N} [/mm] = 0$.
Also wäre [mm] X_n [/mm] nicht fast sicher konvergent.
$ [mm] A_n=[k2^{-m},(k+1)2^{-m}) [/mm] $ durchläuft ja wegen $ [mm] 0\leq k\leq 2^{m}-1, [/mm] $ immer komplett Omega. Aber dem muss man sich erstmal bewusst werden. Dann ist alles ganz einfach. Ohne Skizze wäre mir das nicht klar gewesen.
Ist obige ausführung so korrekt?
Mfg. Fishy
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Hiho,
> Dann wäre also [mm]\limes_{N\rightarrow\infty} sup X_{N} = 1 \not= \limes_{N\rightarrow\infty} inf X_{N} = 0[/mm].
Saubere Notation beachten!
Was du meinst, ist: [mm] $\limes_{N\rightarrow\infty} sup_{n_k \ge N} X_{n_k}$
[/mm]
> Ist obige ausführung so korrekt?
aber sonst passt es.
Gruß,
Gono
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