f-zyklische K-Vektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:49 Mo 28.06.2004 | | Autor: | sandramaus |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo,
ich sitze grad über einer Aufgabe, die mir ein wenig Kopfzerbrechen bereitet
"Sei V ein endlich-dimensionaler f-zyklischer K-Vektorraum unter einem Endomophismus f: V [mm] \rightarrow [/mm] V. Zeige, dass jeder f-invariante Unterraum U [mm]\subset [/mm] V wiederum zyklisch ist."
In der Vorlesung hatte ich als Def.:
U [mm]\subset [/mm] V sei ein lin. Unterraum und f ist ein [mm] End_k [/mm] (V)
-U ist f- invariant, wenn f(U) [mm]\subset [/mm] U
-U ist f- zyklisch, wenn ein u aus U existiert, sodass u, f(u), [mm] f^2(u)... [/mm] U erzeugen
Im Prinzip entspricht doch die Def. der Aufgabenstellung und wie zeige ich das jetzt nun? *lieb guck*
MFG sandramaus
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Gruß!
Natürlich gibt es da etwas zu beweisen. Wenn ein Untervektorraum f-invariant ist, dann kann man sich das so vorstellen, dass f eingeschränkt auf U wieder ein Endomorphismus von U ist - das heißt, wenn man U als Vektorraum "im eigenen Recht" betrachtet und mal kurz vergißt, dass er in V liegt, dann macht f darauf trotzdem Sinn, also [mm] f \in End_K(U) [/mm].
Zyklisch wiederum heißt (für V), dass ein Vektor v in V existiert, so dass v, f(v), usw. linear unabhängig sind und zwar bis die volle Dimension erreicht ist. Das Problem ist, dass dieser Vektor v, den man finden kann im Allgemeinen nicht in U enthalten ist - und natürlich kann man nicht jeden beliebigen Vektor nehmen.
Stell Dir z.B. vor, f ist durch folgende Matrix über [mm] \IR [/mm] gegeben:
[mm] f = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm]
Das heißt, [mm] e_1 [/mm] wird auf [mm] e_2 [/mm] abgebildet und der wiederum auf [mm] e_3 [/mm]. Also ist f zyklisch, wenn man [mm] e_1 [/mm] wählt, aber nicht, wenn man [mm] e_2 [/mm] oder gar [mm] e_3 [/mm] wählt, denn letzterer liegt im Kern.
Langer Vorrede kurzer Sinn: ich wollte Dir ja eigentlich bei der Übungsaufgabe helfen. Also, nimm Dir einen Vektor v her, der die Eigenschaft hat, dass v, f(v), ... V erzeugen. Dann nimmst Du Dir die kleinste Zahl k, so dass der von den ersten k dieser Vektoren erzeugte Untervektorraum mit U einen nicht-trivialen Schnitt hat und nimmst dann ein u ungleich 0 aus diesem Schnitt.
Ich behaupte, dass dieser Vektor für U zyklisch ist, das heißt u, f(u), ... erzeugen U. Dazu überlege Dir zunächst eine Abschätzung für die Dimension von U (wenn V die Dimension n hat und es einen k-1 dimensionalen Untervektorraum in V gibt, der das U nicht trifft, dann...) und schließe dann etwas über die lineare Unabhängigkeit der u, f(u), etc., indem Du u in der Basis des anderen Vektorraumes schreibst. Und sagen wir mal U hat Dimension l und Du hast l linear unabhängige Vektoren gefunden - dann müssen diese von allein U erzeugen.
Ich hoffe, das war halbwegs verständlich. Aber die Aufgabe ist auch nicht ganz so einfach.
Halt Dich wacker!
Gnometech
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