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| Aufgabe | Sei f ein Endomorphismus eines K-Vektorraumes V, und seien [mm] U_1, U_2, [/mm] ... , [mm] U_s [/mm] die Eigenräume zu paarweise verschiedenen Eigenwerden [mm] \lambda_1, [/mm] ... , [mm] \lambda_s [/mm] von f. Zeige:
(i) [mm] U_1+ [/mm] ... [mm] +U_s=U_1\oplus***\oplus U_s.
[/mm]
(ii) Für jeden f-invarianten Unterraum [mm] W\subseteq U_1+ [/mm] ... [mm] +U_s [/mm] gilt:
[mm] W=(U_1 \cap W)+...+(U_s \cap [/mm] W), und f eingeschränkt auf W ist diagonalisierbar. |
Hallo,
hier ist mein Versuch (i) zu lösen:
Um zu zeigen, dass sogar die direkte Summe gilt, reicht es meiner Meinung nach zu zeigen, dass die Unterräume f-invariant sind.
[mm] U_1 [/mm] ist nach Aufgabenstellung ein Eigenraum [mm] E_\lambda_1, [/mm] d.h. alle Vektoren in diesem Unterraum und allgemein in jedem der s Unterräume sind Eigenvektoren.
Nach Definition der Eigenvektoren gilt: [mm] f(u_1)=\lambda_1u_1 [/mm] mit [mm] u_1\not=0
[/mm]
Daraus kann ich folgern, dass auch das Bild im Unterraum liegt und somit die verschiedenen Unterräume alle f-invariant sind.
Und daraus kann ich schließen, dass der Schnitt der Unterräume Null sein muss.
Ist meine Argumentation soweit richtig?
Bei der (ii) habe ich schon ein bisschen mehr Schwierigkeiten. Wäre nett, wenn mich jemand bei dieser Aufgabe unterstützen könnte.
Wenn gilt: [mm] W\subseteqU_1+ [/mm] ... [mm] +U_s
[/mm]
Dann gilt auch [mm] W\subseteq [/mm] V, weil [mm] U_1, [/mm] ... [mm] ,U_s [/mm] V erzeugen.
W ist zudem ein f-invarianter Unterraum. Müsste nach dem Ergebnis von (i) der Schnitt zwischen z.B. [mm] U_1 [/mm] und W nicht der Nullraum sein?
Wie kann ich das mit dem Schnitt zeigen?
Für den zweiten Teil von (ii) bräuchte ich auch Hilfe. Was diagonalisierbar heißt, weiß ich. Wenn die Basis des Unterraums W aus Eigenvektoren mit jeweils verschiedenen Eigenwerten besteht, dann hat die darstellende Matrix von W vollen Rang, also sprich nach der Abbildung der Basisvektoren, bleiben die Bilder linear unabhängig.
Aber in diesem zweiten Teil kann ich nicht einfach sagen, dass W ein Eigenraum ist oder?
Es steht ja nur, dass er f-invariant sein soll.
Könnte mir vielleicht jemand helfen?
Gruß Walodja1987
Vielen Dank für jede hilfreiche Antwort
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 08.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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