f-invariant < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Do 10.05.2007 | | Autor: | clover84 |
| Aufgabe | geg: Sei V ein endlichdimensionaler VR, 0 [mm] \not= [/mm] f [mm] \in [/mm] End(V) mit [mm] f^n [/mm] = 0 für ein n [mm] \in \IN. [/mm] Sei W der Eigenraum zum Eigenvektor 0
z.z.: Ist V = U [mm] \oplus [/mm] W, so ist U nicht f-invariant. |
Hallo zusammen,
ich weiß nicht so recht, ob mein Beweis richtig ist. Könnte sich das bitte jemand ansehen:
Beweis:
Annahme: f(U) [mm] \subseteq [/mm] U
Wähle ein x [mm] \in [/mm] U mit x [mm] \not= [/mm] 0. Ein solches x existiert, da U [mm] \oplus [/mm] W = V, aber V [mm] \not= [/mm] W.
Dann gilt f(x) [mm] \in [/mm] U und f(x) [mm] \not= [/mm] 0, da sonst x [mm] \in [/mm] W wäre. Induktiv folgt nun [mm] f^n(x) \in [/mm] U und [mm] f^n(x)\not= [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN, [/mm] d.h. [mm] f^n \not= [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Daraus folgt, dass U nicht f-invariant ist.
Stimmt das soweit? Ist der letzte Satz richtig??
Danke im voraus.
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> geg: Sei V ein endlichdimensionaler VR, 0 [mm]\not=[/mm] f [mm]\in[/mm]
> End(V) mit [mm]f^n[/mm] = 0 für ein n [mm]\in \IN.[/mm] Sei W der Eigenraum
> zum Eigenvektor 0
>
> z.z.: Ist V = U [mm]\oplus[/mm] W, so ist U nicht f-invariant.
> Hallo zusammen,
>
> ich weiß nicht so recht, ob mein Beweis richtig ist. Könnte
> sich das bitte jemand ansehen:
Hallo,
ich finde Deinen Beweis richtig, manches würde ich ein wenig anders formulieren.
>
> Beweis:
>
> Annahme: f(U) [mm]\subseteq[/mm] U
Da V die direkte Summe von U und W ist, also insbes. [mm] U\not=0, [/mm] gibt es ein
> Wähle ein x [mm]\in[/mm] U mit x [mm]\not=[/mm] 0. Ein solches x existiert,
> da U [mm]\oplus[/mm] W = V, aber V [mm]\not=[/mm] W.
> Dann gilt f(x) [mm]\in[/mm] U und f(x) [mm]\not=[/mm] 0, da sonst x [mm]\in[/mm] W
> wäre.
(denn die Summe ist direkt)
> Induktiv folgt nun [mm]f^n(x) \in[/mm] U und [mm]f^n(x)\not=[/mm] 0 für
> alle n [mm]\in \IN,[/mm] d.h. [mm]f^n \not=[/mm] 0 für alle n [mm]\in \IN.[/mm],
(Diese Induktion würde ich sicherheitshalber ausführen.)
> Ein
im
> Widerspruch zur Voraussetzung.
Also kann U nicht f-invariant sein.
> Daraus folgt, dass U nicht f-invariant ist.
Gruß v. Angela
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