e^z = 1 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 So 11.01.2009 | | Autor: | Calcio |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Für z [mm] \in \IC [/mm] gilt [mm] e^{z}=1 [/mm] genau dann, wenn z = [mm] 2k\pi [/mm] i für ein k [mm] \in \IZ. [/mm]
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Hallo,
ich komme mit der Aufgabe nicht ganz zurecht.
Ich weis zwar, dass [mm] |e^{z}| [/mm] = 1 ist wenn der Realteil von z = 0 ist und dachte mir ich könnte das irgendwie auf diese Aufgabe anwenden...
Da das z in diesem Fall definiert ist als [mm] 2ki\pi [/mm] (wobei ich [mm] 2ki\pi [/mm] einfach mal als y interpretiere) ist der Realteil von z ja schon Null.
Das würde ja dann bedeuten, dass [mm] |e^{2ki\pi}| [/mm] = 1 ist.
Und genau hier komme ich dann nicht mehr weiter.
Wäre echt nett, wenn ihr mir etwas helfen könntet..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Calcio!
Stelle einfach die trigonometrische form der komplexen Zahl auf mit:
[mm] $$r*e^{\varphi*i} [/mm] \ = \ [mm] r*\left[\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)\right]$$
[/mm]
Dies kann nur dann $= \ 1 \ = \ 1+0*i$ werden, wenn gilt:
$$r \ = \ 1$$
[mm] $$\sin(\varphi) [/mm] \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 11.01.2009 | | Autor: | Calcio |
wieso muss dafür r = 0 sein? müsste das nicht vllt 1 heißen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Calcio!
Du hast Recht: ich hatte mich veschrieben. Ist aber nun korrigiert ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 11.01.2009 | | Autor: | Calcio |
Hallo,
schonmal danke für deinen Tipp.
Ich habe folgendes Versucht:
$ [mm] r\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i} [/mm] \ = \ [mm] r\cdot{}\left[\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi)\right] [/mm] $ = 1 wenn r=1 und [mm] sin(\varphi) [/mm] = 0
[mm] \varphi [/mm] muss Null sein, damit der sinus an dieser Stelle Null wird. Daraus folgt, dass k = 0 ist.. dadurch wird mein komplettes z Null.
Dann steht dort [mm] e^{0} [/mm] = 1, was ja vom Prinzip stimmen würde, nur irgendwie glaube ich, dass das nicht die Antwort auf die gegebene Aufgabe ist, oder doch?
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Hallo Calcio,
> Hallo,
> schonmal danke für deinen Tipp.
>
> Ich habe folgendes Versucht:
>
> [mm]r\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i} \ = \ r\cdot{}\left[\cos(\varphi)+i\cdot{}\sin(\varphi)\right][/mm]
> = 1 wenn r=1 und [mm]sin(\varphi)[/mm] = 0
>
> [mm]\varphi[/mm] muss Null sein, damit der sinus an dieser Stelle
> Null wird. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, das ist nur eine einzige der unendlich vielen Lösungen
Der reelle Sinus hat doch unendlich viele Nullstellen, wo liegen die?
Zeichne dir zur Not den Graphen des Sinus auf!
Beachte, dass zusätzlich der Cosinus an der fraglichen Stellen +1 sein muss
> Daraus folgt, dass k = 0 ist.. dadurch wird mein
> komplettes z Null.
> Dann steht dort [mm]e^{0}[/mm] = 1, was ja vom Prinzip stimmen
> würde, nur irgendwie glaube ich, dass das nicht die Antwort
> auf die gegebene Aufgabe ist, oder doch?
Nein, das reicht noch nicht ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 11.01.2009 | | Autor: | Calcio |
Ja stimmt, die Nullstellen des Sinus liegen bei ... -4pi, -2pi, pi, 0, pi, 2pi, 4pi ... usw..
dann habe ich [mm] 2k\pi [/mm] = [mm] l\pi [/mm] (wobei l [mm] \in \IZ [/mm] und gerade)
dann ergibt sich für k = [mm] \bruch{l}{2}
[/mm]
stimmt das diesmal? wenn nicht, weis ich nicht weiter :(
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Hallo nochmal,
> Ja stimmt, die Nullstellen des Sinus liegen bei ... -4pi,
> -2pi, pi, 0, pi, 2pi, 4pi ... usw.. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also bei [mm] $\varphi=k\cdot{}\pi$, $k\in\IZ$
[/mm]
Der Cosinus ist 1 an den geradzahligen Vielfachen von [mm] $\pi$, [/mm] also für [mm] $\varphi=2l\cdot{}\pi$, $l\in\IZ$
[/mm]
Zusammen ist also [mm] $sin(\varphi)=0$ [/mm] und [mm] $\cos(\varphi)=1$ [/mm] für [mm] $\varphi=2k\pi$, $k\in\IZ$
[/mm]
Wie sieht also dein allg. z aus?
[mm] $z=e^{(...)}$ [/mm]
>
> dann habe ich [mm]2k\pi[/mm] = [mm]l\pi[/mm] (wobei l [mm]\in \IZ[/mm] und gerade)
> dann ergibt sich für k = [mm]\bruch{l}{2}[/mm]
Hier verstehe ich nicht, was du machst ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
> stimmt das diesmal? wenn nicht, weis ich nicht weiter :(
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 11.01.2009 | | Autor: | Calcio |
z = [mm] e^{phi * i }
[/mm]
und phi war [mm] 2k\pi?[/mm]
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Hallo nochmal,
> z = [mm]e^{phi * i }[/mm]
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> und phi war [mm]2k\pi?[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Also [mm] $z=e^{2k\pi i}$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 11.01.2009 | | Autor: | Calcio |
Vielen Dank,
Aufgabe verstanden :)
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