matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer Veränderlichenextremwerte bestimmen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - extremwerte bestimmen
extremwerte bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

extremwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Di 09.06.2009
Autor: briddi

Aufgabe
Bestimmen Sie alle extremalpunkte und deren typen für a aus [mm] \IR [/mm] für die funktion [mm] f_{a}:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit

[mm] f_{a}(x)=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}-3ax_{1}x_{2} [/mm]

hallo,
ich habe schon etwas dran gearbeitet und bin zu folgendem ergebnis gekommen:
der gradient sieht so aus:  [mm] \pmat{ 3x_{1}^{2}-3ax_{2} \\ -3 x_{2}^{2}-3ax_{1} } [/mm]
wenn ich diesen null setze bekomme ich als mögliche extremstellen alle punkte der form  [mm] \vektor{-a \\ a} [/mm] heraus.
von diesen punkten kann ich jetzt die hessematrix betrachten und beurteilen ob sie positiv oder negativ definit ist.die hessematrix davon sieht so aus:
[mm] \pmat{ -6a & -3a \\ -3a & -6a }. [/mm] für die definitheit bestimme ich die eigenwerte über das charakteristische polynom [mm] b^{2}+27a^{2}+12ab [/mm]
durch nullsetzen erhalte ich die eigenwerte -9a und-3a. daraus folgt dann: für a<0 sind alle eigenwerte positiv,also die matrix positiv definit und es liegt ein minimum vor,für a>0 genau umgekehrt.
(ist das bis hierhin überhaupt richtig?)

mein problem liegt aber bei a=0. kann ich dann keine aussage treffen? wie gehe ich denn nun vor?

danke für hilfe :)

briddi

        
Bezug
extremwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Di 09.06.2009
Autor: Denny22


> Bestimmen Sie alle extremalpunkte und deren typen für a aus
> [mm]\IR[/mm] für die funktion [mm]f_{a}:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
>
> [mm]f_{a}(x)=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}-3ax_{1}x_{2}[/mm]
>  hallo,
>  ich habe schon etwas dran gearbeitet und bin zu folgendem
> ergebnis gekommen:
>  der gradient sieht so aus:  [mm]\pmat{ 3x_{1}^{2}-3ax_{2} \\ -3 x_{2}^{2}-3ax_{1} }[/mm]
>  

Richtig.

> wenn ich diesen null setze bekomme ich als mögliche
> extremstellen alle punkte der form  [mm]\vektor{-a \\ a}[/mm]
> heraus.

Genauer erhälst Du [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{-a \\ a}[/mm]

>  von diesen punkten kann ich jetzt die hessematrix
> betrachten und beurteilen ob sie positiv oder negativ
> definit ist.die hessematrix davon sieht so aus:
> [mm]\pmat{ -6a & -3a \\ -3a & -6a }.[/mm]

Allgemein erhalten wir

    [mm] $H_{f_a}(x_1,x_2)=\pmat{ 6x_1 & -3a \\ -3a & -6x_2 }$ [/mm]

und damit erhalten wir

    [mm] $H_{f_a}(0,0)=\pmat{ 0 & -3a \\ -3a & 0 }$ [/mm]
    [mm] $H_{f_a}(-a,a)=\pmat{ -6a & -3a \\ -3a & -6a }$ [/mm]

Also Deine Hesse-Matrix stimmt!

> für die definitheit
> bestimme ich die eigenwerte über das charakteristische
> polynom [mm]b^{2}+27a^{2}+12ab[/mm]

Richtig! Also konkret erhalten wir

     [mm] $\mathrm{det}\left(H_{f_a}(0,0)-\lambda I\right)=(\lambda-3a)\cdot(\lambda+3a)$ [/mm]
     [mm] $\mathrm{det}\left(H_{f_a}(-a,a)-\lambda I\right)=\lambda^2+12a\lambda+27a^2=(\lambda+3a)\cdot(\lambda+9a)$ [/mm]

Damit besitzt die Hessematrix [mm] $H_{f_a}(0,0)$ [/mm] die Eigenwerte [mm] $\lambda=3a$ [/mm] und [mm] $\lambda=-3a$. [/mm] Damit haben wir einen positiven und einen negativen Eigenwert (für [mm] $a\neq [/mm] 0$), d.h. die Hessematrix ist in diesem Fall indefinit. Folglich liegt im Punkt $(0,0)$ ein Sattelpunkt vor, falls [mm] $a\neq [/mm] 0$.

Die Hessematrix [mm] $H_{f_a}(-a,a)$ [/mm] die Eigenwerte [mm] $\lambda=-3a$ [/mm] und [mm] $\lambda=-9a$. [/mm]
1. Fall: (a<0)
Hier sind die Eigenwerte positiv, also die Hesse-Matrix positiv definit. Daher liegt in $(-a,a)$ ein Minimum vor.
2. Fall: (a>0)
Hier sind die Eigenwerte negativ, also die Hesse-Matrix negativ definit. Daher liegt in $(-a,a)$ ein Maximum vor.
3. Fall: (a=0)
Hier sind die Eigenwerte null. (???)

>  durch nullsetzen erhalte ich die eigenwerte -9a und-3a.
> daraus folgt dann: für a<0 sind alle eigenwerte
> positiv,also die matrix positiv definit und es liegt ein
> minimum vor,für a>0 genau umgekehrt.
> (ist das bis hierhin überhaupt richtig?)

Jupp!

> mein problem liegt aber bei a=0. kann ich dann keine
> aussage treffen? wie gehe ich denn nun vor?

Gute Frage. Das kann ich Dir jetzt leider nicht beantworten.

> danke für hilfe :)
>  
> briddi

Gruß Denny


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]