extremwertaufgabe < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mo 23.01.2006 | | Autor: | bapuna |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Tagchen,
hab ein Problem mit einer Aufgabe 10. Klasse Realschule technischer Zweig.
unsere Lehrerin hat uns erklärt das man Extremwerte bei Parabeln mit Hilfe der Scheitelpunkte bestimmt.
Jetzt haben wir als Hausaufgabe aber keine Parabelgleichungen bekommen sondern welche mit sin und cos usw... also trogonometrisch.
ich geb mal eine Beispielaufgabe die ich lösen konnte.
[mm] T(z) = \ 2 cos^2 z + \ 1,5 cos z + \ 3 [/mm]
so für T(z) soll man das Extremum bestimmen, also für welchen Winkel wird das ganze Maxi-/oder Minimal.
Meine Lösung geht über ne Umformung zu ner Parabelgleichung...also für das "cos(z)" nehm ich einfach mal ein schönes einfaches x.
[mm] T(x) = \ 2x^2 + \ 1,5 x + \ 3 [/mm]
Schöne Parabelform bei der ich erst Scheitelwerte bestimme und ergebnis ist dann bei mir ein Winkel von 112,02 Grad. Mit einem Minimum bei y(scheitelwert) von 2,72.
So jetzt noch eine Aufgabe bei der ich dann aber keine Umformung mehr in Parabelform hinbekomme.
[mm] T(z) = \ sin 2 z + \ 3,5 [/mm]
als einzigste überlegung wäre jetzt von mri, dass ich schaue für welchen Winkel (z) es ein Maximum oder Minimum gibt. das wäre in dem Fall bei 45 Grad. also Sin 90 Grad = 1. aber wie mach ich das rechnerisch oder stimmt die Überlegung überhaupt und es müsste ja auch noch ein Minimum geben?
und noch eine...
[mm] T(z) = \ 0,5 cos 2 z - \ 3 [/mm]
Additionstheoreme vielleicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Di 24.01.2006 | | Autor: | Mathe0 |
Hallo,
also ich würde diese Aufgabe mit dem bilden der ersten Ableitung lösen. Aber ich denke mir das habt ihr in der 10 Klasse noch nicht gehabt.
Spontan fällt mir noch ein, dass man für sin(2x) auch 2sin (x) *cos (x) schreiben kann. Schau mal unter doppelte Winkel in deine Formelsammlung.
Ob man das jetzt damit so lösen kann bin ich mir aber auch nicht ganz sicher.
Mfg
Mathe0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:00 Di 24.01.2006 | | Autor: | bapuna |
Also Ableitungen hatten wir noch nicht...kenn das aber von meinem älteren bruder, der hat mir das auch gesagt aber das hilft mir ja nicht weiter weil wir das ja nicht so machen sollen.
Mit verschiedenen Additionstheoremen habe ich auch schon rumprobiert aber es nicht geschafft das ganze auf eine parabelgleichungs ähnliche form zu bringen.
vielleicht gibts da ja irgend nen trick wie man das auf ne parabelgleichung bringen kann, also "a [mm] x^2 [/mm] + b x + c" . und ich sehs halt nich wie mans umformen muss...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Di 24.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen bapuna,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Für [mm] $\cos(2z)$ [/mm] lässt sich noch schreiben: [mm] $\cos(2z) [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos^2(z)-1$
[/mm]
Bei der anderen:
[mm] $\sin(2z) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(z)*\cos(z) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(z)*\wurzel{1-\sin^2(z)} [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{1-\cos^2(z)}*\cos(z)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mi 25.01.2006 | | Autor: | bapuna |
mit diesen theoremen oder ergänzungen für sin2z und cos2z hab ich auch schon rumprobiert, aber das hilft mir ja nicht weiter :(
wir sollen die extrempunkte der funktionen bestimmen. also bei welchen Winkel (z) man ein extrempunkt hat.
wenn ich mir die funktion zeichnen lasse sehe ich ja ganz viele hoch und tiefpunkte...wegen dem sinus und cosinus.
wie rechnet man denn sowas genau aus und zwar auf Realschulniveau 10. Klasse?
wie gesagt für die funktion $ T(z) = \ 2 [mm] cos^2 [/mm] z + \ 1,5 cos z + \ 3 $ kann ich das cos(z) austauschen mit x. so haben wir das auch bei einer beispielaufgabe in der schule gemacht. dadurch erhalte ich eine funktion in parabelform $ T(x) = \ [mm] 2x^2 [/mm] + \ 1,5 x + \ 3 $ .
von der bestimme ich den scheitelpunkt. der x-wert des scheitelpunktes ist dann mit dem cos(z) gleichzusetzen. also Winkel (z) = arccos(x-wert Scheitelpunkt). so erhalte ich den winkel (z) für einen extrempunkt.
aber was mache ich bei den beiden aufgaben die ich angegeben habe wo ich keine solche parabelform herausbekomme? ich bräuchte eine genaue vorgehensweise wie man solche aufgaben in der realschule löst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mi 25.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo bapuma
> hab ein Problem mit einer Aufgabe 10. Klasse Realschule
> technischer Zweig.
>
> unsere Lehrerin hat uns erklärt das man Extremwerte bei
> Parabeln mit Hilfe der Scheitelpunkte bestimmt.
>
> Jetzt haben wir als Hausaufgabe aber keine
> Parabelgleichungen bekommen sondern welche mit sin und cos
> usw... also trogonometrisch.
>
> ich geb mal eine Beispielaufgabe die ich lösen konnte.
>
> [mm]T(z) = \ 2 cos^2 z + \ 1,5 cos z + \ 3[/mm]
>
> so für T(z) soll man das Extremum bestimmen, also für
> welchen Winkel wird das ganze Maxi-/oder Minimal.
>
> Meine Lösung geht über ne Umformung zu ner
> Parabelgleichung...also für das "cos(z)" nehm ich einfach
> mal ein schönes einfaches x.
>
> [mm]T(x) = \ 2x^2 + \ 1,5 x + \ 3[/mm]
>
> Schöne Parabelform bei der ich erst Scheitelwerte bestimme
> und ergebnis ist dann bei mir ein Winkel von 112,02 Grad.
> Mit einem Minimum bei y(scheitelwert) von 2,72.
find ich gut wie du das mit dem einfach mal x nennen gemacht hast.
> So jetzt noch eine Aufgabe bei der ich dann aber keine
> Umformung mehr in Parabelform hinbekomme.
>
> [mm]T(z) = \ sin 2 z + \ 3,5[/mm]
>
> als einzigste überlegung wäre jetzt von mri, dass ich
> schaue für welchen Winkel (z) es ein Maximum oder Minimum
> gibt. das wäre in dem Fall bei 45 Grad. also Sin 90 Grad =
> 1. aber wie mach ich das rechnerisch oder stimmt die
> Überlegung überhaupt und es müsste ja auch noch ein Minimum
> geben?
Deine Überlegung ist einfach richtig. sin2z +3,5 hat da Maxima und Minima, wo sin2z sie hat, also bei 2z=90°,450°, usw Maxima (also bei z=45°, 225° usw immet 180° weiter, Minima bei 2z=270°, (270+360)° usw
wenn mann zu allen Werten der Funktion die gleiche Zahl hier 3,5 addiert, bleiben die höchsten und tiefsten Stellen ja weiter höchste und tiefste Stellen.
> und noch eine...
>
> [mm]T(z) = \ 0,5 cos 2 z - \ 3[/mm]
Wieder dasselbe wie oben, 0,5 macht die max und min nur kleiner, und die -3 tut auch nicht cos2z ist maximal bei 2z=0,; 2z=360 usw, also bei z=0,180°usw, die minima findest du nun sicher selbstt.
Aus der ersten Gleichung ne parabel zu machen lohnt sich wirklich nicht, bei der zweiten gehts noch, mit [mm] cos2z=cos^{2}zsin^{2}z=2*cos^{2}z-1
[/mm]
Aber das ist wirklich zu umständlich!
Gruss leduart
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