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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 So 22.04.2012 | | Autor: | hjoerdis |
| Aufgabe | | zwei rechtwinklig zueinander verlaufende straßen A und B schneiden sich. In einer Entfernung a=600m von der Straße A und b= 1000m von der Straße B (senkrecht gemessen) befindetet sich ein Umspannwerk W. Durch eine geradlinige Straße C soll W an beide Straßen angeschlossen werden. Wie lang sind beide Teilstrecken für eine minimale Gesamtlänge? |
hi, ich verstehe zwar diese aufgabe und hab auch den richtige rechenansatz (glaube ich ^^), aber ich bekomme das ganze nicht umgestellt!
mein Ansatz:
L (Gesamtlänge) = min = L1 (von W zu Straße A)+L2(von W zu Straße B)
oder
L= [mm] \wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] (die hab ich auch jetzt verwendet)
L1= [mm] \wurzel{600^{2}+(x-1000)}
[/mm]
L2= [mm] \wurzel{1000^{2}+(y-600)}
[/mm]
das ist die hauptbedingung
als nebenbedingung hab ich den strahlensatz verwendet:
[mm] \bruch{y-600}{1000}=\bruch{600}{x-1000}
[/mm]
-> [mm] x=\bruch{1000y}{y-600}
[/mm]
d.h.:
[mm] L=\wurzel{(\bruch{1000y}{y-600})^{2} + y^{2}}
[/mm]
und jetzt hörts bei mir auf, weil ich es einfach nicht schaffe zu kürzen, und auch nicht die erste ableitung bilden kann =(.
wär für hilfe sehr dankbar,
grüße mathilda
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Hallo Mathilda,
die gute Nachricht ist: du hast bis hierher alles richtig gemacht. Die schlechte Nachricht ist, da kann man nicht kürzen.
Du musst da jetzt entweder via Ketten und Quotientenregel durch, oder es ist eine Aufgabe, die für die Verwendung eines GTR o.ä. gedacht ist.
Wenn du die Ableitung der Wurzelfunktion
[mm] \left(\wurzel{x}\right)'=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
mal als gegeben ansiehst, dann bleibt als einzige Schwierigkeit die innere Ableitung. Die ist aber nicht so schlimm, wie sie aussieht, da es sich um eine gebrochen-rationale Funktion handelt.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Tipp: minimiere nicht die Streckenlänge, sondern ihr Quadrat. Dann vermeidest Du Wurzeln und die Rechnungen werden einfacher.
FRED
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