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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | Beweise folgende Aussage:
Ist f:(a,b) [mm] \to \IR [/mm] 2 mal stetig differenzierbar, so besitzt f in dem Punkt f´ ( [mm] x_{0} [/mm] )=0 ein lokales Minimum, wenn f´´ [mm] (x_{0}) [/mm] > 0 ist. |
anschaulich ist mir das klar.
Kann ich den Beweis mit hilfe eines Widerspruches beweisen?
Annahme:
f´´ [mm] (x_{0}) [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f´ ( [mm] x_{0} [/mm] )=0 ein lokales Minimum.
Sei [mm] f(x)=-x^2 [/mm] und wir wissen, dass diese Funktion an der stelle [mm] x_{0} [/mm] ein lokales maximum besitzt.
f´ (x)=-2x
f´´ (x)=-2
Hier ist ein Widerspruch, da f´´ (x) negativ ist aber f(x) an der Stelle 0 ein Maximum besitzt.
qed
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich bin mir nicht zu 100% sicher, ob das so geht, da du von einem Spezialfall ausgegangen bist. Du hast auf jeden Fall ein Widerspruch erzeugt....
Alternativüberlegung: Diskutier doch mal über die Krümmung des Graphen und über die Bedeutung dieser Krümmung für ein Minimum....Was bedeutet es denn, wenn [mm] f''(x_0)>0 [/mm] ist?
LG
Kroni
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> ich bin mir nicht zu 100% sicher, ob das so geht, da du von
> einem Spezialfall ausgegangen bist. Du hast auf jeden Fall
> ein Widerspruch erzeugt....
Nein Kroni,
Kreide hat keinen Widerspruch erzeugt, sondern ein Beispiel ins Feld geführt, welches nicht so recht zur Aufgabe paßt - es sei denn als bestätigendes Beispiel, wenn man sich entscheidet, zu Kreides Funktion f die Funktion (-f) zu betrachten.
Gruß v. Angela
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> Beweise folgende Aussage:
> Ist f:(a,b) [mm]\to \IR[/mm] 2 mal stetig differenzierbar, so
> besitzt f in dem Punkt f´ ( [mm]x_{0}[/mm] )=0 ein lokales Minimum,
> wenn f´´ [mm](x_{0})[/mm] > 0 ist.
> anschaulich ist mir das klar.
> Kann ich den Beweis mit hilfe eines Widerspruches
> beweisen?
Hallo,
möglicherweise kann man das.
Aber das, was Du tust, ist kein Widerspruchsbeweis.
Bevor man versucht einen Widerspruchsbeweis zu führen, muß man sich erstmal klarmachen, was überhaupt zu zeigen ist.
Hier ist das Folgendes:
Voraussetzung: Es sei [mm] f:(a,b)\to \IR [/mm] zweimal stetig diffbar und [mm] x_0\in [/mm] (a,b).
zu zeigen: Wenn [mm] f'(x_0)=0 [/mm] und [mm] f''(x_0)>0, [/mm] folgt, daß f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ein Minimum hat.
Würde man nun einen Beweis durch Widerspruch führen wollen, so würde man so starten:
Es sei [mm] f'(x_0)=0 [/mm] und [mm] f''(x_0)>0, [/mm] und die Funktion f habe an der Stelle [mm] x_0 [/mm] kein Minimum.
Dies wäre dann durch weitere Überlegungen zu einem Widerspruch zu führen,
aus welchem man schließen würde:
Daß [mm] f'(x_0)=0 [/mm] und [mm] f''(x_0)>0 [/mm] und die Funktion in [mm] x_0 [/mm] kein Minimum hat, führt zu einem Widerspruch.
Also kann sie nicht kein Minimum haben. Also hat sie ein Minimum.
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Mit einem Widerspruchsbeweis darfst Du nicht das Widerlegen durch ein Gegenbeispiel verwechseln.
Wolltest Du das bei dieser Aufgabe tun, müßtest Du eine Funktion mit den entsprechenden Voraussetzungen liefern, für welche [mm] f'(x_0)=0 [/mm] und [mm] f''(x_0)>0 [/mm] gilt, die jedoch an der Stelle [mm] x_0 [/mm] kein Minimum hat.
Dann hättest Du die Behauptung widerlegt - was Dir hier natürlich nicht gelingt.
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Dein Lösungsansatz scheint mir eine Verquickung dieser beiden Methoden zu sein, überzeuge Dich bitte selbst, daß es nichts v. beidem ist.
Bleibt nun natürlich die Frage, wie Du den Beweis führen kannst.
Wichtig ist zunächst einmal, daß Du die Definition v. Minimum kennst: es gibt eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] usw. usf.
Dann kannst Du "unten" anfangen.
Was bedeutet es, daß [mm] f''(x_0)>0 [/mm] ist?
Da f zweimal stetig diffbar, ist f'' stetig, das muß man bedenken.
Also gibt es eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] v. [mm] x_0, [/mm] so daß für alle x in dieser Umgebung f''(x) usw. usf.
Hieraus ziehe dann Schlüsse über die Funktion f', hierbei beachte Du neben der Stetigkeit v. f', daß [mm] f'(x_0)=0.
[/mm]
Wenn Du das hast, kannst Du Informationen über das Monotonieverhalten v. f im Bereich v. [mm] x_0 [/mm] erhalten und hieraus schließlich die zu zeigende Behauptung.
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Zumindest, wenn Du Mathe-LK hattest, solltest Du Dir den zu beweisenden Sachverhalt bereits in der Schule anschaulich klargemacht haben, exakt bewiesen nicht.
Ich habe Dir jetzt eine recht detaillierte Anleitung an die Hand gegeben, und ich möchte Dich bitten, einen echten Lösungsversuch durchzuführen, eine Lösungsversuch, der weiter geht, als bis zum nächsten Schritt - auf die Gefahr hin, daß Du dreimal das Haus umkreist, bevor Du die Tür siehst.
Gruß v. Angela
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