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Abend
Aufgabe: es werden offene Regentonnen hergestellt.
Diese sollen bei geg. Materialbedarf maximales Volumen besitzen.
Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn [mm] 2m^{2} [/mm] Material je regentonne
zur Verfügung stehen?
Aufgabe soll zunächst allgemein gelöst werden.
Lösungsversuch:
extrema bedingung: f'(x)=0
gesucht: maximales Volumen v(r;h)= [mm] \pi*r^{2}*h
[/mm]
O (r;h)= 2 [mm] \pi*r^{2} [/mm] + 2 [mm] \pi*r*h
[/mm]
O(r;h)= 2 * [mm] \pi* r^{2}+ [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] * r*h |- 2 [mm] \pi [/mm] * [mm] r^{2} [/mm] |- 2 [mm] \pi*r^{2}
[/mm]
- 2 [mm] \pi*r^{2} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] * r*h | : (2 [mm] \pi*r)
[/mm]
[mm] \bruch{- 2 \pi*r^{2}}{2 \pi*r} [/mm] = h
h in v (r;h) :
v(r) = [mm] \pi*r^{2}* \bruch{- 2 \pi*r^{2}}{2 \pi*r}
[/mm]
v(r) = [mm] \bruch{- 2 \pi^{2}*r^{4}}{2 \pi*r}
[/mm]
v(r) = - 2 [mm] \pi [/mm] * [mm] r^{3}
[/mm]
v'(r) = -6 [mm] \pi r^{2}
[/mm]
So richtig?
Gruß,
Muellermilch
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Hallo Muellermilch,
nein, das ist nicht richtig.
Aber vorab: so ist es auch kaum zu lesen. Entweder Du lässt in Deinen Formeln bei der Eingabe die meisten Freiräume aus, oder Du verwendest den Formeleditor (dazu musst Du Teilnahme an beta-Tests aktivieren), oder Du setzt Deine Formeln zwischen Dollarzeichen oder zwischen [mm]Formel[/mm]Zur Sache:
> Abend
Soll das ein Gruß sein?
> Aufgabe: es werden offene Regentonnen hergestellt.
> Diese sollen bei geg. Materialbedarf maximales Volumen
> besitzen.
>
> Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn [mm]2m^{2}[/mm] Material
> je regentonne
> zur Verfügung stehen?
> Aufgabe soll zunächst allgemein gelöst werden.
> Lösungsversuch:
>
> extrema bedingung: f'(x)=0
>
> gesucht: maximales Volumen v(r;h)= [mm]\pi*r^{2}*h[/mm]
>
> O (r;h)= 2 [mm]\pi*r^{2}[/mm] + 2 [mm]\pi*r*h[/mm]
Nein. Die Regentonnen sollen ja offen sein. Trotzdem noch ein Blick auf die weitere Rechnung:
> O(r;h)= 2 * [mm]\pi* r^{2}+[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] * r*h |- 2 [mm]\pi[/mm] * [mm]r^{2}[/mm] |- 2
> [mm]\pi*r^{2}[/mm]
> - 2 [mm]\pi*r^{2}[/mm] = 2 [mm]\pi[/mm] * r*h | : (2 [mm]\pi*r)[/mm]
Die Umformung würde nur stimmen, wenn O(r;H)=0 wäre. Ist es doch aber nicht.
> [mm]\bruch{- 2 \pi*r^{2}}{2 \pi*r}[/mm] = h
Warum kürzt Du das nicht?
> h in v (r;h) :
> v(r) = [mm]\pi*r^{2}* \bruch{- 2 \pi*r^{2}}{2 \pi*r}[/mm]
> v(r) =
> [mm]\bruch{- 2 \pi^{2}*r^{4}}{2 \pi*r}[/mm]
> v(r) = - 2 [mm]\pi[/mm] * [mm]r^{3}[/mm]
Hier kürzt Du endlich. Wieso bleibt die 2?
> v'(r) = -6 [mm]\pi r^{2}[/mm]
>
> So richtig?
Nein. Ist Dir schon aufgefallen, dass Du bei positivem Radius eine negative Höhe und ein negatives Volumen hast? Das kann doch nicht stimmen.
Grüße
reverend
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Guten Abend )
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> > Aufgabe: es werden offene Regentonnen hergestellt.
> > Diese sollen bei geg. Materialbedarf maximales Volumen
> > besitzen.
> >
> > Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn [mm]2m^{2}[/mm] Material
> > je regentonne
> > zur Verfügung stehen?
> > Aufgabe soll zunächst allgemein gelöst werden.
> > Lösungsversuch:
> >
extrema bedingung: f'(x)=0
> >
gesucht: maximales Volumen v(r;h)= [mm]\pi*r^{2}*h[/mm]
> >
O (r;h)= [mm]\pi*r^{2}[/mm] + 2 [mm]\pi*r*h[/mm]
<- So ist das richtig ? :)
> Nein. Die Regentonnen sollen ja offen sein. Trotzdem noch
> ein Blick auf die weitere Rechnung:
>
O(r;h)= [mm] \pi*r^{2}+2\pi*r*h [/mm] |- ( [mm] \pi*r^{2})
[/mm]
O(r;h) [mm] -\pi*r^{2} [/mm] = [mm] 2\pi*r*h [/mm] |: [mm] (2*\pi*r)
[/mm]
[mm] \bruch{O(r;h)}{2*\pi*r}- \bruch{\pi*r^{2}}{2*\pi*r} [/mm] = h
[mm] \bruch{O(r;h)-r}{2} [/mm] = h
Bis hier hin so richtig?
Gruß,
Muellermilch
> > [mm]\bruch{- 2 \pi*r^{2}}{2 \pi*r}[/mm] = h
>
> Warum kürzt Du das nicht?
>
> > h in v (r;h) :
> > v(r) = [mm]\pi*r^{2}* \bruch{- 2 \pi*r^{2}}{2 \pi*r}[/mm]
> > v(r)
> =
> > [mm]\bruch{- 2 \pi^{2}*r^{4}}{2 \pi*r}[/mm]
> > v(r) = - 2 [mm]\pi[/mm] *
> [mm]r^{3}[/mm]
>
> Hier kürzt Du endlich. Wieso bleibt die 2?
>
> > v'(r) = -6 [mm]\pi r^{2}[/mm]
> >
> > So richtig?
>
> Nein. Ist Dir schon aufgefallen, dass Du bei positivem
> Radius eine negative Höhe und ein negatives Volumen hast?
> Das kann doch nicht stimmen.
>
> Grüße
> reverend
>
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Hallo Muellermilch,
> Guten Abend )
>
> O(r;h)= [mm]\pi*r^{2}+2\pi*r*h[/mm] |- ( [mm]\pi*r^{2})[/mm]
>
> O(r;h) [mm]-\pi*r^{2}[/mm] = [mm]2\pi*r*h[/mm] |: [mm](2*\pi*r)[/mm]
>
> [mm]\bruch{O(r;h)}{2*\pi*r}- \bruch{\pi*r^{2}}{2*\pi*r}[/mm] = h
>
> [mm]\bruch{O(r;h)-r}{2}[/mm] = h
Hier muss es doch lauten:
[mm]\bruch{O(r;h)}{2*\pi*r}- \bruch{r}{2} = h[/mm]
>
> Bis hier hin so richtig?
>
> Gruß,
> Muellermilch
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Muellermilch,
>
> > Guten Abend )
>
> >
> > O(r;h)= [mm]\pi*r^{2}+2\pi*r*h[/mm] |- ( [mm]\pi*r^{2})[/mm]
> >
> > O(r;h) [mm]-\pi*r^{2}[/mm] = [mm]2\pi*r*h[/mm] |: [mm](2*\pi*r)[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{O(r;h)}{2*\pi*r}- \bruch{\pi*r^{2}}{2*\pi*r}[/mm] = h
> >
> > [mm]\bruch{O(r;h)-r}{2}[/mm] = h
>
>
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]\bruch{O(r;h)}{2*\pi*r}- \bruch{r}{2} = h[/mm]
>
>
ok. Dann krieg ich für v(r) raus:
v(r)= [mm] \bruch{r*O(r;h)- \pi*r^{3}}{2}
[/mm]
wie lautet dann v'(r) ?
v'(r) = [mm] 2^{- (r*O(r;h)-\pi*r^{3})} [/mm] = ... sowas geht nicht oder?
> >
Gruß,
Muellermilch
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Müllermilch,
ich verstehe deine Berechnung und deine Gedankengänge nicht, erst recht nicht den Term für die Ableitung v'(r).
Die Oberfläche O hat doch einen fest vorgegebenen Wert (im konkreten Fall 2 m²).
Also kann [mm]O=pi*r^2+2*pi*r*h[/mm] nach h aufgelöst und der daraus resultierende Term in die Gleichung für das Zylindervolumen eingesetzt werden. Schließlich kannst du mit Hilfe der Ableitung den Radius r berechnen, für den das Volumen maximal ist.
Versuche es!
Viele Grüße
pythagoras48
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> Hallo Müllermilch,
> ich verstehe deine Berechnung und deine Gedankengänge
> nicht, erst recht nicht den Term für die Ableitung v'(r).
> Die Oberfläche O hat doch einen fest vorgegebenen Wert
> (im konkreten Fall 2 m²).
> Also kann [mm]O=pi*r^2+2*pi*r*h[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nach h aufgelöst
Nach h habe ich ja aufgelöst.
Und h muss ich doch in v(r;h) einsetzen oder?
Das hab ich ja gemacht:
v(r) = \pi*r^{2}* (\bruch{O{r;h)}{2\pi*r}- \bruch{r}{2})
...
v(r) = \bruch{r*O(r;h)- \pi*r^{3}}{2}
Ich soll es doch allegemein lösen.
Und dann erst einsetzen.
und der
> daraus resultierende Term in die Gleichung für das
> Zylindervolumen eingesetzt werden. Schließlich kannst du
> mit Hilfe der Ableitung den Radius r berechnen, für den
> das Volumen maximal ist.
> Versuche es!
Das mach ich auch noch.
> Viele Grüße
> pythagoras48
Gruß,
Muellermilch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 28.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Fassen wir doch nochmal zusammen:
Du hast [mm] V_{Zylinder}=\pi*r^{2}*h
[/mm]
Und [mm] O_{Zylinder}=2\pi*r^{2}+2\pi*r*h, [/mm] da aber der Deckel fehlen soll, gilt hier:
[mm] O=\pi*r^{2}+2\pi*r*h
[/mm]
Daraus folgt: [mm] h=\bruch{O-\pi*r^{2}}{2\pi*r}=\bruch{O}{\pi*r}-\bruch{r}{2}
[/mm]
Das ganze in V eingesetzt, ergibt:
[mm] V_{O}(r)=\pi*r^{2}*\left(\bruch{O}{\pi*r}-\bruch{r}{2}\right)
[/mm]
Und von dieser Funktion suchst du jetzt das Maximum, in Abhängigkeit vom Parameter O. Dazu solltest du aber noch ein wenig umformen, dann bekommst du eine Funktion, die schöner zu differenzieren ist.
Marius
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