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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Fr 24.06.2005 | | Autor: | sara_20 |
Hallo mal wieder. Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme. Also:
Man extreme berechnen:
[mm] u=xy^{2}z^{3}(a-x-2y-3z) [/mm] a>0
Ich habe folgende Stationarpunkte bekommen: (a/7,a/7,a/7) (x,0,z) (x,y,0) (0,y,z)
In dem ersten Punt habe ich ein maximum bekommen.
Nun weiss ich aber nicht was ich mit den anderen Punkten machen soll. Ich habe zwar eine Loesung in einem Buch gefunden, verstehe aber nicht was da gemacht wird, da es keine Zwischenschritte gibt. Kann mir jemand helfen?
Danke im vorraus.
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Hallo,
> Hallo mal wieder. Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich
> nicht weiterkomme. Also:
> Man extreme berechnen:
> [mm]u=xy^{2}z^{3}(a-x-2y-3z)[/mm] a>0
>
> Ich habe folgende Stationarpunkte bekommen: (a/7,a/7,a/7)
> (x,0,z) (x,y,0) (0,y,z)
>
> In dem ersten Punt habe ich ein maximum bekommen.
>
> Nun weiss ich aber nicht was ich mit den anderen Punkten
> machen soll. Ich habe zwar eine Loesung in einem Buch
> gefunden, verstehe aber nicht was da gemacht wird, da es
> keine Zwischenschritte gibt. Kann mir jemand helfen?
hier wurde dann wahrscheinlich die Hesse-Matrix gebildet. Die Hesse-matrix besteht aus den zweiten partiellen Ableitungen.
[mm]H\left( {x,\;y,\;z} \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }}} & {\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x\partial y}}} & {\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x\partial z}}} \\
{\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x\partial y}}} & {\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial y^2 }}} & {\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial y\partial z}}} \\
{\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x\partial z}}} & {\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial y\partial z}}} & {\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial z^2 }}} \\
\end{array}} \right)
[/mm]
Diese wird dann auf Definitheit untersucht. Natürlich nur in einem Punkt.
Außerdem wird hier dann noch geprüft, welche Vorzeichen [mm]\[
\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }}\left( {x_0 } \right),\;\;\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial y^2 }}\left( {x_0 } \right),\;\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial z^2 }}\left( {x_0 } \right)
[/mm] haben. Haben die alle gleiches Vorzeichen, so ist ein Extrema vorhanden. Sind die alle diese Ableitungen größer 0, so handelt es sich um ein Miminum. Sind die alle diese Ableitungen kleiner 0, so handelt es sich um ein Maxinum.
Vielleicht Du und mal, was Du an der Lösung im Buch nicht verstehst.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Sa 25.06.2005 | | Autor: | sara_20 |
Ich habe es versucht wie du es geschrieben hast, aber ich bekomme andere loesungen. Wahrscheinlich mache ich etwas falsch. Am liebsten waere es mir wenn du die ganze loesung aufschreiben wuerdest, aber das ist ziemlich viel Arbeit. Im Buch steht:
fuer (0,y,z):
[mm] d^{2}u=-2y^{2}z^{3}(dx^{2}+2dxdy+2dzdx)
[/mm]
Er kann verschidene Vorzeichen haben, so dass es dort kein extrem gibt.
(x,0,z):
[mm] d^{2}u=2xz^{3}(a-x-3z)d^{2}
[/mm]
a-x-3z [mm] \not=0, [/mm] x [mm] \not=0,z \not=0 [/mm] hat extrem =0
(x,y,0)...habe ich verstanden. Da wird das 3.differenzial gesuch und es ist [mm] \not=0, [/mm] so dass es dort kein extrem gibt.
Das andere habe ich nicht verstanden.
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Hallo sara,
> Im Buch steht:
> fuer (0,y,z):
> [mm]d^{2}u=-2y^{2}z^{3}(dx^{2}+2dxdy+2dzdx)[/mm]
> Er kann verschidene Vorzeichen haben, so dass es dort kein
> extrem gibt.
>
> (x,0,z):
> [mm]d^{2}u=2xz^{3}(a-x-3z)d^{2}[/mm]
> a-x-3z [mm]\not=0,[/mm] x [mm]\not=0,z \not=0[/mm] hat extrem =0
>
> (x,y,0)...habe ich verstanden. Da wird das 3.differenzial
> gesuch und es ist [mm]\not=0,[/mm] so dass es dort kein extrem
> gibt.
Der Wert der Hesse-Matrix an den genannten Stellen ist jeweils 0.
Also sind die Hesse-Matrizen ist also indefinit.
Das heisst, es liegt hier kein Extremum vor.
Gruß
MathePower
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