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Hallo, ich habe allgeine Fragen zum exponentiellen Wachstum
Die Allgeimene Gleichung lautet: f(t)= [mm] c*a^t [/mm]
Dies ist gleichbedeutend mit: f(t)= c* [mm] e^{ln(a) *t} [/mm] = [mm] c*e^{k*t} [/mm] (k=ln(a))
Nungut. c ist der Startwert und a ist praktisch die Prozentzahl bzw. der Faktor, um den der z.B. Bakterienbestand wächst, pro Zeiteinheit.
Doch weshalb ist eine Wachstumsfunktion so aufgebaut? Warum, muss der Anfangswert c (0/c) mit dem Rest immer multipliziert werden ?
Und wieso ist der Rest so aufgebaut, wie er aufgebaut ist? Ich beziehe mich hierbei auf: f(t)= [mm] c*a^t [/mm] . Wie man all dies umformt auf
f(t)= [mm] c*e^{k*t} [/mm] verstehe ich.
Danke für die kommende Antwort!
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> Hallo, ich habe allgeine Fragen zum exponentiellen
> Wachstum
> Die Allgeimene Gleichung lautet: f(t)= [mm]c*a^t[/mm]
> Dies ist gleichbedeutend mit: f(t)= c* [mm]e^{ln(a) *t}[/mm] =
> [mm]c*e^{k*t}[/mm] (k=ln(a))
> Nungut. c ist der Startwert und a ist praktisch die
> Prozentzahl bzw. der Faktor, um den der z.B.
> Bakterienbestand wächst, pro Zeiteinheit.
> Doch weshalb ist eine Wachstumsfunktion so aufgebaut?
> Warum, muss der Anfangswert c (0/c) mit dem Rest immer
> multipliziert werden ?
> Und wieso ist der Rest so aufgebaut, wie er aufgebaut ist?
> Ich beziehe mich hierbei auf: f(t)= [mm]c*a^t[/mm] . Wie man all
> dies umformt auf
> f(t)= [mm]c*e^{k*t}[/mm] verstehe ich.
> Danke für die kommende Antwort!
Angenommen die Bakterienpopulation $f(t)$ hat zur Zeit $t=0$ den Wert $f(0)=c$ und zudem die bemerkenswerte Eigenschaft, sich (unabhängig vom Anfangszeitpunkt $t$!) in einer Zeiteinheit um den Faktor $a$ zu vergrössern: [mm] $f(t+1)=a\cdot [/mm] f(t)$. Dann kann man doch (zumindest im Spezialfall, dass $t$ eine ganze Zahl von Zeiteinheiten ist) sagen, dass die Population $f(t)$ zur Zeit $t$ gleich
[mm]f(t)=a\cdot f(t-1)=a^2 \cdot f(t-2)=a^3\cdot f(t-3)\cdots = a^t\cdot f(t-t)=a^t\cdot f(0)=c\cdot a^t[/mm]
ist. Und nun sind wir einfach frech genug anzunehmen, dass man den Verlauf der Population auch für nicht-ganzzahliges $t$ durch [mm] $f(t)=c\cdot a^t$ [/mm] angemessen beschreiben kann. Das heisst: Die Bakterienpopulation wird nahezu kontinuierlich wachsen: nicht etwa erst eine Nanosekunde vor Ablauf der nächsten Zeiteinheit sprunghaft um den Faktor $a$ zunehmen. (Wenn man nicht zu genau hinschaut bzw. wenn die Gesamtpopulation genügend gross ist und die einzelnen Bakterien sich nicht im "Gleichschritt" vermehren)
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Danke für die Antwort, doch wie kommst du auf :
> [mm]f(t)=a\cdot f(t-1)=a^2 \cdot f(t-2)=a^3\cdot f(t-3)\cdots = a^t\cdot f(t-t)=a^t\cdot f(0)=c\cdot a^t[/mm]
? Genauer : Wie kommst du auf dem Anfangsteil, also
[mm][mm] f(t)=a\cdot f(t-1)=a^2 \cdot f(t-2)=a^3\cdot f(t-3)\cdots [/mm] ?
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> Danke für die Antwort, doch wie kommst du auf :
> > [mm]f(t)=a\cdot f(t-1)=a^2 \cdot f(t-2)=a^3\cdot f(t-3)\cdots = a^t\cdot f(t-t)=a^t\cdot f(0)=c\cdot a^t[/mm]
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> ? Genauer : Wie kommst du auf dem Anfangsteil, also
> [mm][mm]f(t)=a\cdot f(t-1)=a^2 \cdot f(t-2)=a^3\cdot f(t-3)\cdots[/mm] ?
Wir hatten doch angenommen, dass die Bakterienpopulation für alle $t$ nach einer Zeiteinheit um den Faktor $a$ zunimmt. Kurz: [mm] $f(\blue{t}+1)=a\cdot f(\blue{t})$.
[/mm]
Nun ist aber $t=(t-1)+1$ also kann ich schliessen: [mm] $f(t)=f((\blue{t-1})+1)=a\cdot f(\blue{t-1})$, [/mm] sofern [mm] $t-1\geq [/mm] 0$ ist, indem ich in die Voraussetzung [mm] $f(t+1)=a\cdot [/mm] f(t)$ für $t$ einfach $t-1$ einsetze. Und dies habe ich wiederholt verwendet, bis ich schliesslich bei $f(0)$ angekommen bin. Jede Subtraktion von $1$ vom ursprünglichen Wert von $t$ ergibt einen weiteren Faktor $a$, den ich vor die Funktionsanwendung schreibe. Nach genau $t$ Schritten der Subtraktion von $1$ vom Argument der Funktion $f$ bleibt (neben dem Faktor [mm] $a^t$) [/mm] nur noch $f(0)$. Und von $f(0)$ wissen wir, dass $f(0)=c$ ist.
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