explizite Formel gesucht < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 So 06.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
| Aufgabe | Die Matrix [mm] $A=\pmat{ 0.7 & 0.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.8 & 0.3 \\ 0.1&0.1&0.4 }$ [/mm] beschreibt die monatliche Wählerentwicklung. für eine aktuelle Wählerverteilung [mm] $x_0 \in R^3$ [/mm] gibt der Vektor [mm] $x_k=A^kx_0$ [/mm] die geschätzte Anzahl der Wähler nach k monaten wieder.
Stellen Sie eine explizite Formel (ohne A) für [mm] $x_k$ [/mm] auf bei [mm] $x_0=(40,40,20)^T$ [/mm] |
Hallo ich habe verständnisprobleme bei der Aufgabe
Wie genau gehe ich da vor? was benötige ich denn statt A?
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Hallo Lukas,
> Die Matrix [mm]A=\pmat{ 0.7 & 0.1 & 0.3 \\
0.2 & 0.8 & 0.3 \\
0.1&0.1&0.4 }[/mm]
> beschreibt die monatliche Wählerentwicklung. für eine
> aktuelle Wählerverteilung [mm]x_0 \in R^3[/mm] gibt der Vektor
> [mm]x_k=A^kx_0[/mm] die geschätzte Anzahl der Wähler nach k
> monaten wieder.
> Stellen Sie eine explizite Formel (ohne A) für [mm]x_k[/mm] auf
> bei [mm]x_0=(40,40,20)^T[/mm]
> Hallo ich habe verständnisprobleme bei der Aufgabe
> Wie genau gehe ich da vor? was benötige ich denn statt A?
Du sollst eine Formel finden, in der [mm] x_k [/mm] nur noch von k (meist im Exponenten) und festen Basen/Koeffizienten abhängt.
Rechne doch einmal [mm] x_1,\;x_2,\;x_3 [/mm] aus, ohne auszumultiplieren - lass also [mm] 0,3^2 [/mm] einfach als Quadrat stehen und $0,7*0,2$ einfach als Produkt. Vielleicht erkennst Du dann, wie das Bildungsgesetz ist. 
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:08 So 06.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
ok danke also ich berechne erst einmal [mm] $x_1$
[/mm]
[mm] $x_1=\pmat{ 0.7 & 0.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.8 & 0.3 \\ 0.1&0.1&0.4 } [/mm] * [mm] \vektor{40 \\40 \\ 20}$
[/mm]
[mm] $x_1=\vektor{38\\64\\16}$
[/mm]
[mm] $x_2=\pmat{ 0.7^2+0.1*0.2+0.1*0.3 & 0.7*0.1+0.1*0.8+0.1*0.3 & 0.7*0.3+0.1*0.3+0.3*0.4 \\ 0.7*0.2+0.1*0.8+0.3^2 & 0.2*0.1+ 0.8^2+0.1*0.3 & 0.2*0.3+0.8*0.3+0.4*0.3 \\ 0.7*0.1+0.2*0.1+0.1*0.4 & 0.1^2+0.1*0.8+0.1*0.4& 0.1*0.3+0.1*0.3+0.4^2 }*\vektor{40 \\40 \\ 20}$
[/mm]
gibt es dafür keinen allgemeinen Rechenweg? Das erscheint mir doch ein wenig aufwendig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 So 06.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
kann mir dort niemand weiterhelfen? Ich weiß wirklich nicht weiter :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
mach noch einen Schritt weiter und du solltest das Bildungsgesetz sehen.
gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das Problem ist, dass du [mm] A^k [/mm] allgemein ausrechnen sollst. Bist du mit Diagonalisierung vertraut? Damit würde das ganz einfach gehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 So 06.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
Nein soetwas hatten wir in unserer Vorlesung noch nicht. Das ist meistens auch mein Problem dass einfach irgendetwas vorgegriffen wird und man letztendlich nicht weiß, wie man solche Problematiken lösen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 So 06.01.2013 | | Autor: | Teufel |
Hm ok, dann mach es mal wie weiter oben schon angedeutet. Mit der Methode klappt das auch, auch wenn es etwas anstrengend aussieht.
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