matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Uni-Sonstiges > expliz.Darstell.Parameterkurve
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Sonstiges" - expliz.Darstell.Parameterkurve
expliz.Darstell.Parameterkurve < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

expliz.Darstell.Parameterkurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Fr 15.08.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Parameterkurve und bestimmen Sie die explizite Darstellung wenn möglich:
[mm] x(t)=sinh^2(t); y(t)=cosh^2(t) t\in\IR [/mm]

[]Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung 1 die ihren Urspung in (0/1) hat also müsste ja eine simple Geradengelichung rauskommen, oder kann ich für die explizite Darstellung direkt schreiben:
y=x+1 mit [mm] x\in \IR^+ [/mm] ?

(Woran erkenne ich überhaupt ob eine explizite Darstléllung möglich ist?)

Die Rechnung ist nämlich relativ viel Schreiberei:

habe [mm] x(t)=sinh^2(t) [/mm] nach t aufgelöst:

[mm] \sqrt{x}=sinh(t) [/mm]
[mm] arsinh(\sqrt{x})=t [/mm]

und
[mm] arsinh(\sqrt{x})=ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right) [/mm]


dann in [mm] y=cosh^2(t) [/mm] einsetzen:

[mm] y=cosh^2(arsinh(\sqrt{x}))=\left(\bruch{1}{2}*e^{ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{e^{-ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}}\right)^2 [/mm]

[mm] y=\left(\bruch{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}{2}+\bruch{1}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

Dann habe ich den Hauptnenner gebildet damit ich das alles auf einen Bruch schreiben kann:

[mm] y=\left(\bruch{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)+2}{4*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)+1}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{x+\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2+x}+x+2}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{2*(x+\sqrt{x^2+x}+1)}{2*\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}\right)^2 [/mm]

[mm] =\left(\bruch{x+\sqrt{x^2+x}+1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\right)^2 [/mm]

Jetzt könnte ich noch:

[mm] =\left(\bruch{\sqrt{x}*(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})+1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)^2 [/mm]

schreiben und dann:

[mm] y=\left(\sqrt{x}+\bruch{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)^2 [/mm]

um dann schließlich zu quadrieren:

[mm] y=x+\bruch{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}+\bruch{1}{2*\sqrt{x^2+x}+2*x+1} [/mm]

Das könnte ich das ja wieder auf einen Hauptnenner bringen und evtl so vereinfachen bis dann irgendwann meine Geradengleichung rauskommt.
ALso reicht das mit
y=x+1 mit [mm] x\in \IR^+ [/mm] um sich die Rechnerei hier zu sparen?
Danke und besten Gruß,
tedd [ok]
        
Bezug
expliz.Darstell.Parameterkurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Fr 15.08.2008
Autor: Somebody


> Skizzieren Sie den Graphen der folgenden Parameterkurve und
> bestimmen Sie die explizite Darstellung wenn möglich:
>  [mm]x(t)=sinh^2(t); y(t)=cosh^2(t) t\in\IR[/mm]
>  
> []Der Graph
> ist eine Gerade mit der Steigung 1 die ihren Urspung in
> (0/1) hat also müsste ja eine simple Geradengelichung
> rauskommen, oder kann ich für die explizite Darstellung
> direkt schreiben:
>  y=x+1 mit [mm]x\in \IR^+[/mm] ?
>  
> (Woran erkenne ich überhaupt ob eine explizite Darstlellung
> möglich ist?)

Indem Du die Darstellung explizit zu machen versuchst ... und dabei Erfolg hast ;-)

> Die Rechnung ist nämlich relativ viel Schreiberei:

Nein, das geht, unter Verwendung von [mm] $\cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$, [/mm] d.h. [mm] $\cosh^2(x)=\sinh^2(x)+1$, [/mm] in einer einzigen Zeile:

[mm]y=\cosh^2(t)=\sinh^2(t)+1=x+1[/mm]
Bezug
                
Bezug
expliz.Darstell.Parameterkurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:55 Fr 15.08.2008
Autor: tedd

Oh arghhh ...

Warum einfach, wenn's auch schwer geht.

[lichtaufgegangen]

Danke Somebody :D
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]