exp und log im Komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Für die komplexe Exponentialfunktion z [mm] \mapsto e^{z} [/mm] mit z=x+iy gilt: [mm] arg(e^{z})=y [/mm] |
Hallo.
Ich beschäftige mich zur Zeit mit der komplexen Analysis. Hierbei bin ich über eine Aussage gestolpert (siehe oben), die ich auch nach längerem Überlegen einfach nicht verstehe. Wieso gilt das genannte? Wie bestimme ich das Argument. Argument einer komplexen Zahl zu bestimmen ist klar, aber hier komm ich damit einfach nicht weiter.
Bin für jeden Tipp dankbar.
Viele Grüße.
PS: So weit komme ich auch noch alleine: [mm] arg(e^{z}) [/mm] = [mm] arg(e^{x+iy}) [/mm] = [mm] arg(e^{x}*e^{iy}). [/mm] Aber dann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Calculu!
> Für die komplexe Exponentialfunktion z [mm]\mapsto e^{z}[/mm] mit
> z=x+iy gilt: [mm]arg(e^{z})=y[/mm]
Dabei müssen $x$ und $y$ als reell vorausgesetzt werden.
> PS: So weit komme ich auch noch alleine: [mm]arg(e^{z})[/mm] =
> [mm]arg(e^{x+iy})[/mm] = [mm]arg(e^{x}*e^{iy}).[/mm] Aber dann?
Da hast du es doch eigentlich schon stehen.
Als Argument einer komplexen Zahl $w$ bezeichnet man jede reelle Zahl $t$, so dass es eine reelle Zahl $r$ mit
[mm] $w=r*e^{it}$
[/mm]
gibt.
Nun hast du [mm] $w:=e^z$ [/mm] auf die Form
[mm] $w=e^z=e^x*e^{iy}=r*e^{it}$
[/mm]
mit [mm] $r:=e^x\in\IR$ [/mm] und [mm] $t:=y\in\IR$ [/mm] gebracht.
Somit ist $t=y$ ein Argument von [mm] $w=e^z$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Calculu |
Oh man, natürlich! Ich hab die ganze Zeit versucht mit dem arctan das Argument zu bestimmen, also quasi wie wenn ich von kartesischer Darstellung in Polardarstellung umrechnen will.
Ich hatte echt ein Brett vorm Kopf...
Vielen Dank!!!
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