exp, ln und die Kettenregel < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:16 Di 05.09.2006 | | Autor: | Serra |
| Aufgabe | Ableitung der folgenden Funktion berechnen:
[mm]f(x) = 2^{x}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich knabbere an dieser Funktion nun schon eine ganze Weile. Ich weiß, dass das Ergebnis [mm]2^x * ln2[/mm] werden soll, laut Ableitungsregeln für die Exponentialfunktion.
Ich habe versucht es händisch nachzurechnen, komme aber nicht auf da selbe Ergebnis.
Zu Beginn schreibe ich [mm]2^x[/mm] als [mm]exp(x * ln2)[/mm], und verwende anschließend die Kettenregel.
exp ist dabei meine außere, und [mm]x * ln2[/mm] meine innere Ableitung, dabei muß ich [mm]x * ln2[/mm] mit der Produktregel ableiten
Zur Ableitung der inneren Ableitung verwende ich [mm]f(x) = x[/mm] und [mm]g(x) = ln2[/mm], und erhalte: [mm]\bruch{1}{2} * x - ln2[/mm]
Die Kettenregel angewandt auf die gesamte Funktion gibt mir:
[mm]\exp(x * ln2) * (\bruch{1}{2} * x - ln2)[/mm]
Soweit meine Rechnung, kann mir vielleicht jemand helfen meinen Fehler zu finden?
Vielen Dank :)
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2 ist 2 und nicht [mm]x[/mm]. Das ist der Fehler. Wenn du die innere Funktion [mm]g(x) = x \, \ln{2}[/mm] also umständlicherweise mit der Produktregel ableiten wolltest, so hättest du mit
[mm]u(x) = x \, , \ \ v(x) = \ln{2}[/mm]
[mm]u'(x) = 1 \, , \ \ v'(x) = 0[/mm]
das Ergebnis
[mm]g'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 1 \cdot \ln{2} + x \cdot 0 = \ln{2}[/mm]
Denn [mm]\ln{2} = 0{,}6931 \ldots[/mm] ist eine Konstante und hat daher die Ableitung 0.
Natürlich macht man das nicht so umständlich, sondern verwendet, daß ein konstanter Faktor (!) beim Differenzieren erhalten bleibt (Faktorregel):
[mm]g(x) = 1503x \ \ \Rightarrow \ \ g'(x) = 1503[/mm]
[mm]g(x) = x \cdot 7698 \ \ \Rightarrow \ \ g'(x) = 7698[/mm]
[mm]g(x) = x \cdot \ln{2} \ \ \Rightarrow \ \ g'(x) = \ln{2}[/mm]
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