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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mi 06.10.2010 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Berechnen sie [mm] e^M [/mm] für
M = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht genau wie diese Aufgabe zu lösen ist. Muss man hier diagonalisieren oder funktioniert das über cos und sin?
Ich hab noch eine weitere Frage:
Wenn ich bei der Hesse Matrix eine negative Determinante herausbekomme, ist an dem jeweiligen Punkt dann ein Sattelpunkt vorhanden? Wenn nicht, wie stelle ich fest, ob an dem Punkt eine Sattelpunkt vorhanden ist.
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> Berechnen sie [mm]e^M[/mm] für
> M = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
0 & 1 }[/mm]
> Hallo,
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> ich weiß nicht genau wie diese Aufgabe zu lösen ist. Muss
> man hier diagonalisieren oder funktioniert das über cos
> und sin?
Die gesuchte Funktion ist "![[]](/images/popup.gif) Matrixexponential".
Da deine Matrix JNF hat, ist [mm]e^M[/mm] besonders einfach, nämlich:
[mm]\pmat{ e & e \\
0 & e } [/mm]
Allgemein kann man [mm]e^A[/mm] mit [mm]A\in \IC^n\times \IC^n[/mm] berechnen indem man sie diagonalisiert (oder JordanNormalenForm bildet).
Bei Dia-Matrizen ist es besonders leicht, dann werden die die Einträge [mm]a_{ij}[/mm] auf der Hauptdiagonal als Argument benutzt: [mm]\exp(a_{ij})[/mm]
Bei der JNF sieht es wie folgt aus:
[mm]\exp\left( \underbrace{\begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0\\
0&\lambda&1&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&\lambda&1\\
0&\cdots&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix}}_{A}\right) = e^{\lambda}\cdot\begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}&\cdots&\frac{1}{(n-1)!}\\
0&1&\frac{1}{1!}&\cdots&\frac{1}{(n-2)!}\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&1&\frac{1}{1!}\\
0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich hab noch eine weitere Frage:
> Wenn ich bei der Hesse Matrix eine negative Determinante
> herausbekomme, ist an dem jeweiligen Punkt dann ein
> Sattelpunkt vorhanden? Wenn nicht, wie stelle ich fest, ob
> an dem Punkt eine Sattelpunkt vorhanden ist.
Über die Hessematrix kannst du mit dem Determinantenkriterium feststellen, ob die Matrix positiv definit oder negativ definit ist. Sind alle Deteminanten der Hauptminoren positiv, so ist die Matrix A positiv definit (hinreichend Krit. für lok. Minimum). Ist -A positiv definit, so ist A negativ definit (hinreich Krit. für lok Max.) Mehr kann man leider nicht feststellen.
Ist die Matrix indefinit, dann liegt ein Sattelpunkt vor. Für semidefinite Aussagen geht es leider nicht so einfach.
Noch einmal ganz deutlich: Es reicht nicht nur die Deteminante von der ganzen Hessematrix zu berechnen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 06.10.2010 | | Autor: | folken |
Danke für deine Antwort! Habe aber noch ein paar Fragen.
> Allgemein kann man [mm]e^A[/mm] mit [mm]A\in \IC^n\times \IC^n[/mm] berechnen
> indem man sie diagonalisiert (oder JordanNormalenForm
> bildet).
> Bei Dia-Matrizen ist es besonders leicht, dann werden die
> die Einträge [mm]a_{ij}[/mm] auf der Hauptdiagonal als Argument
> benutzt: [mm]\exp(a_{ij})[/mm]
Muss man nicht, nachdem man die Einträge in der Diagonalen bearbeitet hat, die Diagonalmatrix [mm] S^{-1}AS [/mm] rechnen und ist dann erst fertig?
> Über die Hessematrix kannst du mit dem
> Determinantenkriterium feststellen, ob die Matrix positiv
> definit oder negativ definit ist. Sind alle Deteminanten
> der Hauptminoren positiv, so ist die Matrix A positiv
> definit (hinreichend Krit. für lok. Minimum). Ist -A
> positiv definit, so ist A negativ definit (hinreich Krit.
> für lok Max.) Mehr kann man leider nicht feststellen.
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> Ist die Matrix indefinit, dann liegt ein Sattelpunkt vor.
> Für semidefinite Aussagen geht es leider nicht so einfach.
Wie stelle ich fest, ob die Matrix indefinit ist?
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> Danke für deine Antwort! Habe aber noch ein paar Fragen.
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> > Allgemein kann man [mm]e^A[/mm] mit [mm]A\in \IC^n\times \IC^n[/mm] berechnen
> > indem man sie diagonalisiert (oder JordanNormalenForm
> > bildet).
> > Bei Dia-Matrizen ist es besonders leicht, dann werden
> die
> > die Einträge [mm]a_{ij}[/mm] auf der Hauptdiagonal als Argument
> > benutzt: [mm]\exp(a_{ij})[/mm]
>
> Muss man nicht, nachdem man die Einträge in der Diagonalen
> bearbeitet hat, die Diagonalmatrix [mm]S^{-1}AS[/mm] rechnen und
> ist dann erst fertig?
>
Ja genau!
[mm]S^{-1}AS=D \gdw A = SDS^{-1}[/mm]
dann ist [mm]e^{A}=e^{SDS^{-1}}=S*e^{D}*S^{-1}[/mm]
Zusätzlich:
Desweiteren kannst du A zerlegen: [mm]A=H+N[/mm]. Falls [mm]HN=NH[/mm] gilt, dann gilt auch [mm]e^{H+N}=e^{H}*e^{N}[/mm]
Somit kannst du jede Matrix in JNF in eine Diagonalmatrix und den Rest zerlegen.
> Wie stelle ich fest, ob die Matrix indefinit ist?
>
>
Das Hauptminorenkriterium gilt nur für symmetrische bzw. hermitesche Matrizen. Definitheit kannst du durch Eigenwerte feststellen:
Eine quadratische symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix ist:
positiv definit [mm]:\gdw[/mm] alle Eigenwerte größer als Null sind
positiv semidefinit [mm]:\gdw[/mm] falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind
negativ definit [mm]:\gdw[/mm] falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind;
negativ semidefinit [mm]:\gdw[/mm] falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind und
indefinit [mm]:\gdw[/mm] falls positive und negative Eigenwerte existieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Mi 06.10.2010 | | Autor: | folken |
Danke, das wollte ich wissen!
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vollständig beantwortet...
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